[論文レビュー] On quantized stochastic Navier-Stokes equations

R. Mikulevíčius, B. L. Rozovskiĭ|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、 Wick 積を用いた非線形項として、$ u\nabla u $ の最高階の確率的近似としてランダムな摂動をモデル化する、量子化された確率的ナビエ＝ストークス方程式を提案する。 Cameron-Martin のウィーナークラウス展開を用いて、一般化解を構築し、それがマルコフ過程であり、その期待値が決定論的ナビエ＝ストークス解を回復することを保証することで、不確実性下での流体力学の不偏な確率的モデル化を実現する。

ABSTRACT

Abstract. A random perturbation of a deterministic Navier-Stokes equation is considered in the form of an SPDE with Wick type nonlinearity. The nonlinear term of the perturbation can be characterized as the highest stochastic order approximation of the original nonlinear term u∇u. This perturbation is unbiased in that the expectation of a solution of the perturbed/quantized equation solves the deterministic Navier-Stokes equation. The perturbed equation is solved in the space of generalized stochastic processes using the Cameron-Martin version of the Wiener chaos expansion. The generalized solution can be obtained as a limit or an inverse of solutions to corresponding quantized equations. It is shown that the generalized solution is a Markov process. 1.

研究の動機と目的

• 決定論的ナビエ＝ストークス方程式のランダムな摂動を、制御された確率的非線形性を有する確率的偏微分方程式（SPDE）を用いてモデル化すること。
• 解の期待値が決定論的ナビエ＝ストークス解を回復することを要件とすることで、摂動が不偏であることを保証すること。
• 一般化された確率過程の空間における摂動方程式の一般化解フレームワークを構築すること。
• 解がマルコフ過程として特徴付けられることにより、確率的流体力学の確率論的解析が可能になるようにすること。
• 量子化されたSPDEと元の決定論的系との間の関係を、極限または逆構成によって確立すること。

提案手法

• 非線形項を Wick 積を用いて定義した確率的ナビエ＝ストークス方程式を定式化し、$ u\nabla u $ の最高階の確率的近似として表現する。
• 解をガウス確率変数における直交多項式クラウス展開として表現するために、Cameron-Martin のウィーナークラウス展開を適用する。
• 一般化された確率過程の空間において摂動方程式を解き、古典関数を超える分布的解を許容する。
• 解を、対応する量子化方程式の解の極限または逆として導出し、確率的構造と整合性を保証する。
• 遷移確率および時間発展の分析を通じて、一般化解のマルコフ性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待値が決定論的解を回復するように、ナビエ＝ストークス方程式の確率的摂動をどのように構築できるか。
• RQ2 元の $ u\nabla u $ 項の構造を保ちつつ、クラウス展開手法と整合性を持つ適切な確率的非線形性とは何か。
• RQ3 量子化されたSPDEの一般化解がマルコフ過程として示されるか。
• RQ4 ウィーナークラウス展開フレームワークは、一般化された確率過程の空間における解の構築をどのように可能にするか。
• RQ5 量子化方程式の解と一般化解との間の関係は、極限または逆の意味でどのように定式化されるか。

主な発見

• Wick 積を用いて定義された提案された確率的非線形項は、決定論的非線形項 $ u\nabla u $ の最高階の確率的近似であり、元の力学に忠実であることを保証する。
• 量子化されたSPDEの一般化解の期待値は、正確に決定論的ナビエ＝ストークス方程式を満たし、摂動の不偏性を確認する。
• 一般化解は一般化された確率過程の空間に存在し、Cameron-Martin のウィーナークラウス展開を用いて構築される。
• 一般化解はマルコフ過程であるため、遷移密度やマルコフ半群といった確率論的ツールの適用が可能になる。
• 解は、対応する量子化方程式の解の極限または逆として得られ、一貫した解の階層を確立する。
• このフレームワークは、元の系の主要な構造的および統計的性質を保ちながら、ナビエ＝ストークス方程式の厳密な確率的拡張を提供する。