[論文レビュー] On Quantum Cellular Automata

Alexander Yu. Vlasov|ArXiv.org|Jun 17, 2004

Quantum-Dot Cellular Automata参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時間発展演算子を状態空間に埋め込む「履歴」スキームを用いて、古典的セルフラルゴリズムを量子化するフレームワークを提案する。この手法により、非可逆的および可逆的古典的CAを局所的遷移規則を通じてユニタリな量子操作に写像可能となる。ヒルバート空間への状態表現とテンソル積構造の導入により、従来の$C^*$-代数的モデルを超えた量子セルフラルゴリズムの一般化が可能となり、量子ウォーク、格子ガス、および「キューボット」系への応用が得られ、2粒子系の発展演算ではエンタングルドなベル型状態が生成される。

ABSTRACT

In recent work [quant-ph/0405174] by Schumacher and Werner was discussed an abstract algebraic approach to a model of reversible quantum cellular automata (CA) on a lattice. It was used special model of CA based on partitioning scheme and so there is a question about quantum CA derived from more general, standard model of classical CA. In present work is considered an approach to definition of a scheme with "history", valid for quantization both irreversible and reversible classical CA directly using local transition rules. It is used language of vectors in Hilbert spaces instead of C*-algebras, but results may be compared in some cases. Finally, the quantum lattice gases, quantum walk and "bots" are also discussed briefly.

研究の動機と目的

• 従来の$C^*$-代数的形式的体系を超えて一般化された量子セルフラルゴリズムモデルの構築を目的とし、非可逆的および可逆的古典的CAへの応用を含む。
• 局所的遷移規則と「履歴」次元を用いた形式的量子化手順を定式化し、時間発展演算を状態空間に埋め込む。
• 物理的実装として、量子格子ガス、量子ウォーク、および「キューボット」系への応用を示す。
• 得られる量子自動機が多粒子系においてエンタングルドなベル型状態を生成することを示し、モデルの物理的妥当性を検証する。

提案手法

• 各セルの状態に現在時刻と直前の時刻の状態を含める「履歴」スキームを導入し、可逆的ダイナミクスを可能にする。
• 隣接する時刻層の状態の結合を表すために、ヒルバート空間のテンソル積構造$\mathcal{H}_\bullet \otimes \mathcal{H}_\bullet$を用いる。
• 非可逆的古典的遷移を可逆的ユニタリ写像に変換するため、標準的な量子関数評価技術を適用する。
• 各セルとその近傍が時刻層を跨いで作用する局所的可逆写像$\widetilde{F}_i$の合成として、グローバルなユニタリ発展演算を定義する。
• 特に量子ウォークや格子ガスの文脈において、代替的なモデルとして、ヒルバート空間の直和構造$\mathcal{H}_\bullet \oplus \mathcal{H}_\bullet$を用いる。
• 2量子ビット系における制御位相反転を含む、局所的遷移規則の明示的行列表現（例：式(50)）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆的古典的セルフラルゴリズムを、標準的な量子回路ツールを用いて一貫して量子化する方法は何か？
• RQ2 「履歴」次元が、可逆的および非可逆的CAの両方におけるユニタリ発展演算を可能にする役割は何か？
• RQ3 提案されたヒルバート空間に基づくモデルは、量子ウォークや量子格子ガスといった既知の量子系を再現できるか？
• RQ4 このフレームワーク下で、局所的ユニタリ遷移が多粒子系においてどのように非自明なエンタングルメントを生じるか？
• RQ5 このアプローチと、先行研究で用いられたより抽象的な$C^*$-代数的形式的体系との関係は何か？

主な発見

• 非可逆的古典的CAが可逆的「履歴」構成を通じてユニタリな量子操作に一貫して写像可能であり、局所的遷移規則の構造が保持される。
• 局所的遷移の明示的行列表現（例：式(50)の6×6行列）が導出され、2量子ビット系における位相エンタングルドダイナミクスを符号化する。
• 非同一の2キューボットに対して、正規化されたベル型エンタングルド状態が生成される：$\frac{1}{2}( |{\updownarrow},\emptyset\rangle + |\emptyset,{\updownarrow}\rangle + |{\downarrow},{\uparrow}\rangle - |{\uparrow},{\downarrow}\rangle )$、非自明なエンタングルメントが確認される。
• ヒルバート空間のベクトル状態を用いることで、従来の$C^*$-代数的モデルを超えて一般化され、テンソル積空間における状態定義の問題を回避する。
• 量子ウォークや量子格子ガスへの応用が、テンソル積および直和ヒルバート空間構造を用いたキューボットモデルを通じて実証された。
• 同じ局所的規則でも、基礎となるヒルバート空間構造の違いによって異なるグローバルな振る舞いが生じることを示し、状態空間選択の重要性を強調する。