[論文レビュー] On Quantum Communication Channels with Constrained Inputs

A. S. Holevo|ArXiv.org|May 30, 1997

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、エネルギー制約付き入力を持つ量子通信チャネル、特にエネルギー制約付き量子ガウスチャネルの容量を確立する。容量が、制約を満たすすべての入力分布の上での量子相互情報量（エントロピー束縛）の上界に等しいことを証明する。純状態ガウスチャネルの再現性関数について明示的な式を導出し、準古典的光子チャネルと漸近的に同等であるが、誤り指数の挙動が異なることを示す。

ABSTRACT

The purpose of this work is to extend the result of previous papers quant-ph/9611023, quant-ph/9703013 to quantum channels with additive constraints onto the input signal, by showing that the capacity of such channel is equal to the supremum of the entropy bound with respect to all apriori distributions satisfying the constraint. We also make an extension to channels with continuous alphabet. As an application we prove the formula for the capacity of the quantum Gaussian channel with constrained energy of the signal, establishing the asymptotic equivalence of this channel to the semiclassical photon channel. We also study the lower bounds for the reliability function of the pure-state Gaussian channel.

研究の動機と目的

• 入力信号に加法的制約（エネルギー制限など）が課された場合の、量子チャネル容量理論を拡張すること。
• このような制約付きチャネルの容量が、有効なすべての入力分布の上でのエントロピー束縛の上界に等しいことを確立すること。
• エネルギー制約下での純状態ガウスチャネルの再現性関数（誤り指数）を分析すること。
• 容量に関して、量子ガウスチャネルと準古典的光子チャネルが漸近的に同等であることを示し、誤り挙動の違いを明らかにすること。

提案手法

• 入力分布の制約下でのエントロピー束縛を定義するために、フォン・ノイマンエントロピーおよび量子相互情報量を用いる。
• 入力制約下での容量束縛の達成可能性を証明するために、修正された分布を用いた確率的符号化法を適用する。
• ギャラッジャー型の束縛（特に除去および確率的符号化束縛）を最適化する補助パラメータを介して、再現性関数を導出する。
• 最適入力分布下での出力状態のモーメント母関数を計算し、特定の状況では束縛を解析的に評価する。
• 連続アルファベットの場合の密度作用素のべき乗のトレースを評価するために、コherent状態表現およびガウス積分恒等式を用いる。
• パラメータ s および p に関して、束縛の解析的および数値的最適化を実行し、再現性関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力信号のエネルギーが制限されている場合、量子ガウスチャネルの容量は何か？
• RQ2 純状態ガウスチャネルの再現性関数（誤り指数）は、古典的ガウスチャネルと比べてどのように異なるか？
• RQ3 容量に関して、誤り挙動の違いがあるにもかかわらず、量子ガウスチャネルは漸近的に準古典的光子チャネルと同等であると言えるか？
• RQ4 どのような条件下で、エントロピー束縛が最大化され、入力制約下でのチャネル容量が得られるか？
• RQ5 除去および確率的符号化束縛は、純状態ガウスチャネルに対して解析的に評価可能か？

主な発見

• エネルギー制約付き量子ガウスチャネルの容量は、$ C = (E+1)\log(E+1) - E\log E $ で与えられ、準古典的光子チャネルの容量と一致する。
• 純状態ガウスチャネルの再現性関数 $ E_{ex}(R) $ は明示的に導出され、低レート領域では $ E_r(R) $ よりも大きいことが示され、誤りの速やかな減衰を示す。
• レート $ R < \frac{\partial}{\partial s}\mu(\pi,1,p(1,E)) $ の場合、除去束縛における最適な $ s $ は $ s = E / \sqrt{e^{2R} - e^R} $ であり、これにより $ E_{ex}(R) = 2E(1 - \sqrt{1 - e^{-R}}) $ が得られる。
• 再現性関数 $ E_r(R) $ は方程式 (40) によって暗黙的に与えられ、低レート領域では $ E_{ex}(R) > E_r(R) $ が成り立つ。
• 同一の容量を持つにもかかわらず、純状態ガウスチャネルは、$ R < C $ の場合に誤り確率がゼロとなる準古典的光子チャネルとは異なり、誤り指数の挙動が異なる。
• モーメント母関数 $ \mu(\pi,s,p) $ の最大化は、$ s=0,1 $ の場合に解ける方程式 (44) を得るが、一般には数値的解法が必要となる。