[論文レビュー] On Quantum Complexity

Mohsen Alishahiha|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2022

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子演算子のエネルギー固有状態基底における行列要素に、二重極構造を要求することにより、熱化後でさえも期待値における遅刻線形増加を引き起こす一般条件を提案する。主な結果は、このような条件が、ヒルバート空間次元 D に比例する時間で飽和する holographic および Krylov 複雑度の線形増加を再現できることである。

ABSTRACT

The ETH ansatz for matrix elements of a given operator in the energy eigenstate basis results in a notion of thermalization for a chaotic system. In this context for a certain quantity - to be found for a given model - one may impose a particular condition on its matrix elements in the energy eigenstate basis so that the corresponding quantity exhibit linear growth at late times. The condition is to do with a possible pole structure the corresponding matrix elements may have. Based on the general expectation of complexity one may want to think of this quantity as a possible candidate for the quantum complexity. We note, however, that for the explicit examples we have considered in this paper, there are infinitely many quantities exhibiting similar behavior.

研究の動機と目的

• 熱化後でさえも、時間的に遅れて線形増加を示す量子期待値を引き起こす、演算子行列要素に関する一般条件を同定すること。
• このような条件を、有限エントロピーを有するカオス的系における量子複雑度の概念と結びつけること。
• 提案された条件が、holographic および Krylov 複雑度の既知の挙動（線形増加および飽和）を再現できることを示すこと。
• A関数（エネルギー基底における行列要素）およびその極構造が、量子観測量の遅刻ダイナミクスをどのように決定するかを明確にすること。
• ETHの仮説と、カオス的系における普遍的相関構造を通じた複雑度増加の出現との間の関係を確立すること。

提案手法

• 逆温度 β を用いた密度行列を用いて、時間発展した演算子 $\mathcal{O}$ の熱的期待値を表す量子的対象 $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ を定義する。
• $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ をエネルギー固有状態行列要素 $A(E_1,E_2) = \langle E_1|\mathcal{O}|E_2\rangle$ および状態密度 $\rho_\psi(E_1,E_2)$ で表現する。
• $A(E_1,E_2)$ に二重極構造 $A \sim 1/(E_1 - E_2)^2$ を課すことにより、相関関数の非接続的部品における線形時間依存性を生成する。
• カオス的系における短距離相関をモデル化するために、接続的相関関数 $\rho_c(\varepsilon,\omega) \approx -\sin^2(D\omega\rho(\varepsilon))/(D\omega)^2$ の正弦核形を用いる。
• 非接続的部品が遅刻時間 ($t \ll D$) で線形増加を引き起こす一方、接続的部品が $\omega \ll 1$ の領域により $t \sim D$ で飽和を引き起こすことを示す。
• Krylov 基底のラベル演算子である $\mathcal{O}$ の特別な場合に、Krylov 複雑度フレームワークが得られ、Lanczos 係数の定常化が二重極構造を生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー固有状態基底における演算子行列要素にどのような条件を課すと、時間的に遅れてその時間発展期待値に線形増加が現れるか？
• RQ2 演算子の行列要素に二重極構造があると、どのようにして線形量子複雑度増加が生じるか？
• RQ3 カオス的系における普遍的ランダム行列理論的相関から、$t \sim D$（ヒルバート空間次元）での複雑度の飽和が導けるか？
• RQ4 提案された条件が、特に線形増加フェーズにおいて、Krylov 複雑度の既知の挙動をどのように再現するのか、どのような意味でか？
• RQ5 系がすでに熱平衡状態にあるとき、ETHの仮説は複雑度の遅刻挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 演算子 $\mathcal{O}$ の行列要素 $A(E_1,E_2)$ に二重極構造 $A \sim 1/(E_1 - E_2)^2$ を課すと、$\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ の期待値が遅刻時間で線形増加を示す。
• 線形増加フェーズは $t \ll D$ 時間で発現し、$D = e^S$ はヒルバート空間次元である。このフェーズは密度-密度相関の非接続的部品に支配される。
• 複雑度の飽和は $t \sim D$ で発生し、普遍的正弦核 $\rho_c(\varepsilon,\omega) \approx -\sin^2(D\omega\rho(\varepsilon))/(D\omega)^2$ でモデル化された接続的相関項によって駆動される。
• 飽和機構は、非常に遅刻時間におけるA関数のETHに類似た挙動と一致しており、非接続的部品のみで定常な遅刻時間値を記述可能である。
• 提案されたフレームワークは、$\mathcal{O}$ がKrylov基底のラベル演算子である特別な場合にKrylov複雑度を再現する。この場合、二重極構造はLanczos係数の定常化から生じる。
• $\mathcal{A}_{\mathcal{O}}(\beta,t)$ の完全な式から、遅刻時間において $\omega \sim 1/t \ll 1$ の領域で $1/\omega^2$ 項が支配的となり線形増加を生じるが、正弦核項が $t \sim D$ で積分を抑制し、飽和を引き起こすことが示された。