[論文レビュー] On quantum groups associated to a pair of preregular forms

Alexandru Chirvăsitu, Chelsea Walton+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双対なベクトル空間上のプリレギュラー形式 $\mathsf{e}$ と $\mathsf{f}$ を介して、$N$-Koszul アービン＝シュレーダー正則代数の対に作用する普遍的量子群 $\chi(\mathsf{e},\mathsf{f})$ を導入する。これは、ビソンとデュボワ＝ヴィオレットの既存の構成を一般化し、既知の量子群（例えば、アービン＝シュレーダー＝テイト、タケウチ、ムロジンスキ）を回復する。また、任意の量子行列式を持つ代数に普遍的に作用する明示的なホップ代数の提示を提供する。3次元および4次元スクラニン代数、ヤン＝ミルズ代数を含む。

ABSTRACT

We define the universal quantum group $\mathcal{H}$ that preserves a pair of Hopf comodule maps, whose underlying vector space maps are preregular forms defined on dual vector spaces. This generalizes the construction of Bichon and Dubois-Violette (2013), where the target of these comodule maps are the ground field. We also recover the quantum groups introduced by Dubois-Violette and Launer (1990), by Takeuchi (1990), by Artin, Schelter, and Tate (1991), and by Mrozinski (2014), via our construction. As a consequence, we obtain an explicit presentation of a universal quantum group that coacts simultaneously on a pair of $N$-Koszul Artin-Schelter regular algebras with arbitrary quantum determinant.

研究の動機と目的

• 任意のホモロジカルな余行列式を持つ $N$-Koszul アービン＝シュレーダー正則代数の対に作用する普遍的量子群を構成すること。
• ビソンとデュボワ＝ヴィオレットの構成を、余モジュール写像のターゲットを定数体から双対ベクトル空間へ拡張することで一般化すること。
• デュボワ＝ヴィオレット＝ローナー、アービン＝シュレーダー＝テイト、タケウチ、ムロジンスキの既知の量子群を、一つの枠組み内で統一的かつ回復すること。
• 生成元と関係式による、普遍的量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ の明示的な有限提示を提供すること。
• 量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ が、任意の量子行列式を持つ超ポテンシャル代数 $A(\mathsf{e},N)$ および $A(\mathsf{f},N)$ に普遍的に作用することを確立すること。

提案手法

• 生成元と関係式を用いて、$V^{\otimes m}$ および $V^{*\otimes m}$ から一様次元の余モジュールへの右および左ホップ余モジュール写像を保存するホップ商として、普遍的量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ を定義する。
• 双対空間 $V$ および $V^*$ 上のプリレギュラー $m$-重線形形式 $\mathsf{e}$ および $\mathsf{f}$ を用いて、生成元と関係式による量子群の構成を行う。
• $N$-Koszul AS-正則代数を、$\mathsf{e}$ および $\mathsf{f}$ に双対なねじれ超ポテンシャルに付随する超ポテンシャル代数 $A(\mathsf{e},N)$ および $A(\mathsf{f},N)$ として実現する。
• ペア $\mathsf{e}, \mathsf{f}$ に付随するバイアリズムの押し出しとして $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ を構成し、余作用構造と整合性を保証する。
• $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ が $2n^2 + 2$ 個の生成元と有限個の関係を持つ有限提示を備えていることを証明する。
• $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ が $A(\mathsf{e},N)$ および $A(\mathsf{f},N)$ の両方に対して普遍的に作用し、それらのホモロジカルおよび環論的性質を保存することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの $N$-Koszul アービン＝シュレーダー正則代数に同時に作用する普遍的量子群を構成可能か？ その際、ホモロジカルな余行列式を保存するか？
• RQ2 ビソンとデュボワ＝ヴィオレットの構成を、定数体をターゲットとする余モジュール写像から、双対ベクトル空間をターゲットとするものへ一般化する方法は何か？
• RQ3 アービン＝シュレーダー＝テイト、タケウチ、またはムロジンスキの量子群など、既知の量子群は、この一般化された構成の特殊ケースとして回復可能か？
• RQ4 プリレギュラー形式 $\mathsf{e}, \mathsf{f}$ のペアに対して、普遍的量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ の明示的提示（生成元と関係式）はどのように得られるか？
• RQ5 この枠組みは、3次元および4次元スクラニン代数、ヤン＝ミルズ代数などの高次元 AS-正則代数へ応用可能か？ もしそうなら、得られる量子群は何か？

主な発見

• 普遍的量子群 $\mathcal{H}(\mathsf{e},\mathsf{f})$ は、$2n^2 + 2$ 個の生成元と有限個の関係式を持つ明示的提示を備えており、以前の構成を一般化する。
• この構成は、デュボワ＝ヴィオレットとローナー（1990年）、アービン、シュレーダー、テイト（1991年）、タケウチ（1990年）、ムロジンスキ（2014年）の量子群を特殊ケースとして回復する。
• 3次元スクラニン代数 $Skly_3(\alpha,\beta,\gamma)$ は超ポテンシャル代数 $A(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma},2)$ に同型であり、その量子群は $\mathcal{H}(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma}, \mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma})$ である。
• 4次元スクラニン代数 $Skly_4(\alpha,\beta,\gamma)$ は $A(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma},2)$ に同型であり、その量子群は $\mathcal{H}(\mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma}, \mathsf{s}_{\alpha\beta\gamma})$ である。
• ヤン＝ミルズ代数 $\mathcal{YM}(\mathbb{G})$ は超ポテンシャル代数 $A(\mathsf{g},3)$ に同型であり、その量子群は関連する多重線形形式 $\mathsf{g}$ を定める計量 $\mathbb{G}$ に基づく $\mathcal{H}(\mathsf{g}', \mathsf{g})$ である。