[論文レビュー] On quantum maps into quantum semigroups

Piotr M. Sołtan|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、M.M. Sadrが提起した、コンパクトな量子半群への量子写像族に関する未解決問題を解決し、これらの族が量子半群の自由積の特別な場合であることを示している。主な結果は、このような量子写像族が量子半群構造を引き継ぐが、有限な量子空間から古典的有限群への写像であっても、量子群構造を必ずしも持たないということである。

ABSTRACT

We analyze the recent examples of quantum semigroups defined by M.M. Sadr who also brought up several open problems concerning these objects. These are defined as quantum families of maps from finite sets to a fixed compact quantum semigroup. We show that these are special cases of free products of quantum semigroups. This way we can answer all the questions stated by M.M. Sadr. Along the way we discuss the question whether restricting the comultiplication of a compact quantum group to a unital $\mathrm{C}^*$-subalgebra defines such a structure on the subalgebra. In the last section we show that the quantum family of all maps from a non-classical finite quantum space to a quantum group (even a finite classical group) might not admit any quantum group structure.

研究の動機と目的

• コンパクトな量子半群への量子写像族に関するM.M. Sadrが提起した未解決問題を解消すること。
• 有限な量子空間から量子群への量子写像族が、量子群構造を引き継ぐかどうかを調査すること。
• コンパクトな量子半群構造がC*-代数に与えられたとき、その部分代数に制限される条件を特定すること。
• 有限次元C*-代数からコンパクトな量子半群への写像の量子空間の位相的および代数的構造を分析すること。

提案手法

• 有限次元な$ B $と単位的かつ有限生成な$ A $に対して、量子写像族の普遍性を用いて、量子空間$ \mathsf{Q}\text{-Map}(\mathscr{QS}(B), \mathscr{QS}(A)) $ を表すC*-代数$ C $ を定義する。
• コンパクトな量子半群への量子写像族が、量子半群の自由積として生じることを示し、Sadrの問いに答えている。
• C上の共乗法$ \Delta_C $ を分析し、coassociativityを証明し、生成子$ p, q, z $ が特定の$ C^* $-代数関係を満たすことでその構造を導出する。
• C上の特徴関数解析を用いて、Cのスペクトル$ X $ を2次元球面と2つの孤立点の直和として記述し、弱-*位相を用いる。
• 位相的障害（一様性の欠如、群作用の不在）を用いて、$ X $ が位相群構造をもてないことを証明する。
• \mathsf{Q}\text{-Map} の普遍性を用いて、自然な準同型$ \pi: C \to A $ を定義し、$ \mathscr{QS}(A) $ が$ \mathscr{QS}(C) $ の量子部分半群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元C*-代数$ B $からコンパクトな量子半群$ A $への量子写像族は、量子半群の自由積として記述できるか？
• RQ2 コンパクトな量子半群構造が、コンパクトな量子半群への量子写像族からどのように生じるか？
• RQ3 非古典的有限量子空間から量子群への量子写像族は、必然的に量子群構造をもつのか？
• RQ4 コンパクトな量子群の共乗法が、単位的C*-部分代数に制限され、その部分代数に量子群構造を定義できるか？
• RQ5 有限次元代数からコンパクトな量子半群への写像の量子空間を表すC*-代数$ C $ のスペクトルの位相的構造は何か？

主な発見

• 有限次元C*-代数$ B $からコンパクトな量子半群$ A $への量子写像族は、量子半群の自由積と同型であり、Sadrの未解決問題が解決された。
• 量子写像空間を表すC*-代数$ C $ のスペクトル$ X $ は、2次元球面と2つの孤立点の直和と位相的に同相である。
• 位相空間$ X $ は、一様位相がなく、孤立点を球面上の点へ写像する同相写像が存在しないため、位相群構造をもてない。
• 非古典的有限量子空間から有限古典群への量子写像族は、その特徴関数空間の非群的位相性により、量子群構造をもたないことが示された。
• Aがコンパクトな量子群であっても、量子写像族$ \mathsf{Q}\text{-Map}(\mathscr{QS}(B), \mathscr{QS}(A)) $ が必然的に量子群構造を引き継ぐわけではない。
• C上の共乗法はcoassociativeであり、量子写像族の普遍性から生じる。生成子$ p, q, z $ は、$ p^*=p $, $ p=p^2+z^*z $, $ zp=(\mathbb{1}-q)z $, $ q^*=q $, $ q=q^2+zz^* $ を満たす。