[論文レビュー] On Quantum Uncertainty Relations and Uncertainty Regions

Paul Busch, Oliver Reardon-Smith|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換な物理量の間の不確実性のトレードオフを完全に特徴付けるための幾何的枠組みとして、量子不確実性領域の概念を導入する。これは、従来の不確実性関係を越えて、キュービットおよびキュートリット系においてブロッホベクトル表現を用いて、状態に依存しない正確な境界を導出し、シュレーディンガー関係が特に高次元において不完全にしか不確実性領域を捉えていないことを示している。

ABSTRACT

Given two or more non-commuting observables, it is generally not possible to simultaneously assign precise values to each. This quantum mechanical uncertainty principle is widely understood to be encapsulated by some form of uncertainty relation, expressing a trade-off between the standard deviations or other measures of uncertainty of two (or more) observables, resulting from their non-commutativity. Typically, such relations are coarse, and miss important features. It was not until very recently that a broader perspective on quantum uncertainty was envisaged and explored, one that utilises the notion of an uncertainty region. Here we review this new approach, illustrating it with pairs or triples of observables in the case of qubit and qutrit systems. We recall some of the shortcomings of traditional uncertainty relations, and highlight their inability to identify the full uncertainty region. These shortcomings suggest a precautionary note that, we surmise, ought to accompany the presentation of the uncertainty principle in introductory quantum mechanics courses.

研究の動機と目的

• 従来の不確実性関係が、非可換な物理量の間の可能な不確実性トレードオフの全範囲を捉えていないという限界を解消すること。
• すべての量子状態において、与えられた物理量のペアの不確実性（分散）のすべての可能なペアを記述する幾何的枠組み「不確実性領域」を構築すること。
• 標準的な不確実性関係、特にシュレーディンガー不等式が、高次元系において不確実性領域を完全に記述できないことの証明。
• キュービットおよびキュートリットの物理量に対して、非直交なブロッホベクトルを有する場合を含め、不確実性領域の明示的解析的導出を提供すること。
• 状態に依存しない境界の重要性と、共通固有状態が不確実性領域の構造に与える役割を強調すること。

提案手法

• キュービット物理量のブロッホベクトル表現を用い、物理量のパウリ行列間の角度関数として不確実性領域を幾何的に特徴付ける。
• 状態に依存しないシュレーディンガー不確実性関係を必要条件として適用するが、それが不確実性領域を完全に記述するには十分でないことを示す。
• ブロッホ球上で分散の極値を求める手法を用いて、±1値をとるキュービット物理量ペアの正確な不確実性領域を導出する。
• 物理量Bと垂直な双対物理量B'をブロッホ平面内で導入し、Aが与えられたときのBの最大不確実性を制限するトレードオフ関係を導出する。
• ゲルマン行列を用いてキュートリット系に形式を拡張し、非直交な生成子を有する物理量ペアの不確実性領域を構築する。
• 高次元系において境界を求めるために多項式の根を求めることによる数値的手法を用い、非直交なブロッホベクトルを有する拡張キュービット物理量の不確実性境界を解明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な物理量のペアに対して、標準的な不確実性関係を超えて、可能な不確実性ペア（ΔA, ΔB）の全セットをどのように特徴付けることができるか？
• RQ2 シュレーディンガー不確実性関係は、キュービットおよびキュートリット系において、不確実性領域の真の境界をどの程度正確に捉えているか？
• RQ3 物理量が共通固有状態を有する、または非直交なブロッホベクトルを有する場合、不確実性領域の背後にある幾何的・代数的構造は何か？
• RQ4 1つの物理量の分散がゼロである場合、なぜ従来の不確実性関係が不確実性領域を制約できないのか？
• RQ5 ヒルベルト空間の次元が増加するにつれて不確実性領域はどのように変化するのか？また、それを探索するための数値的手法は何か？

主な発見

• ±1値をとるキュービット物理量ペアの不確実性領域は、状態に依存しない境界によって完全に特徴付けられ、これはブロッホベクトル幾何学に基づくものであり、直交する場合を除きシュレーディンガー関係よりもきついものである。
• AとBのブロッホベクトルが非直交である場合、シュレーディンガー不等式は不確実性領域を完全に記述できず、物理的に実現不可能な値を許容してしまう。
• 特にゲルマン行列のペアとしてのキュートリット物理量の不確実性領域は、非自明で非凸的な形状を示しており、単純な不等式では記述できないことを示している。
• 共通固有状態が存在すると、不確当然領域は原点（0,0）を含むが、非可換性のためその周囲の近傍は除外される。
• 2次元を超える次元では、シュレーディンガー関係は不確実性領域の下界および上界の両方を記述できないことが確認され、その限界が裏付けられた。
• 高次元における不確実性領域の計算問題は多項式方程式の解法に還元され、今後の探索に数値的根の探索法が有効である可能性を示唆している。