[論文レビュー] On Quantum Versions of the Yao Principle

M.G. de Graaf, R.M. de Wolf|ArXiv.org|Sep 14, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、古典的ヤオの原理の量子版を調査し、有界誤差量子クエリ複雑度と分布的量子複雑度の関係を示す弱いおよび強い量子ヤオの原理を提案する。対称的ブール関数に対しては弱い原理が定数倍の誤差で成り立つことが示され、一方で強いバージョンは指数的ギャップのため失敗し、分布的解析による量子複雑度下界の基礎的限界を確立する。

ABSTRACT

The classical Yao principle states that the complexity R_epsilon(f) of an optimal randomized algorithm for a function f with success probability 1-epsilon equals the complexity max_mu D_epsilon^mu(f) of an optimal deterministic algorithm for f that is correct on a fraction 1-epsilon of the inputs, weighed according to the hardest distribution mu over the inputs. In this paper we investigate to what extent such a principle holds for quantum algorithms. We propose two natural candidate quantum Yao principles, a ``weak'' and a ``strong'' one. For both principles, we prove that the quantum bounded-error complexity is a lower bound on the quantum analogues of max mu D_epsilon^mu(f). We then prove that equality cannot be obtained for the ``strong'' version, by exhibiting an exponential gap. On the other hand, as a positive result we prove that the ``weak'' version holds up to a constant factor for the query complexity of all symmetric Boolean functions

研究の動機と目的

• 量子版の古典的ヤオの原理が成り立つかどうか、特に量子クエリ複雑度に関して調査すること。
• 分布的入力仮定の下で、古典的確率的および決定的アルゴリズムの意味のある量子版を定義すること。
• 量子有界誤差複雑度が、分布の最大値としての分布的量子複雑度に等しいかどうかを特定すること。
• 弱い量子ヤオの原理が成り立つ関数のクラスを同定し、強いバージョンの反例を探索すること。

提案手法

• 弱いバージョン（分布μ下で2/3の入力に対して正しく動作する）と強いバージョン（すべての入力で決定的出力（0または1）を返す）の2つの量子ヤオの原理を提案する。
• 量子アナログを定義：$ Q_2(f) $ は有界誤差量子アルゴリズムの最小クエリ複雑度を表し、$ Q_{WE}^\mu(f) $ および $ Q_{SE}^\mu(f) $ はそれぞれ分布μ下での弱い・強い2/3正確なアルゴリズムの最小複雑度を表す。
• 再帰的グローバー探索とアモニチュード増幅技術を用いて、AND-OR木関数の弱い正確な量子アルゴリズムを構築する。
• 多項式法および量子アドバーガー法を、既知のクエリ複雑度の境界を通じて暗黙的に適用する。
• 分布的解析と木の深さに関する帰納法を用いて、対称関数のクエリ複雑度を評価する。
• 順序特定問題を用いた反例を提示し、強い量子ヤオの原理を反証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界誤差量子複雑度と分布的量子複雑度の関係を示す量子ヤオの原理のバージョンは成り立つか？
• RQ2 弱い量子ヤオの原理は、対称的関数のような広範な関数クラスに対して証明できるか？
• RQ3 強い量子ヤオの原理は有効か、それとも $ Q_2(f) $ と $ \max_\mu Q_{SE}^\mu(f) $ の間の指数的ギャップのため失敗するか？
• RQ4 弱い量子ヤオの原理は、単調関数や対称関数を超える他の関数クラスへ拡張可能か？
• RQ5 順序特定など既知の量子スピードアップは、弱い量子ヤオの原理の反例を提供するか？

主な発見

• 再帰的グローバーに基づく構築を通じて、すべての対称的ブール関数のクエリ複雑度に関して、弱い量子ヤオの原理が定数倍の誤差で成り立つことが示された。
• 反例関数を用いて、$ Q_2(f) $ と $ \max_\mu Q_{SE}^\mu(f) $ の間の指数的ギャップが示されたことから、強い量子ヤオの原理は失敗した。
• AND-OR木関数に関しては、クエリ複雑度 $ O(\sqrt{N\log N}) $ の弱い2/3正確な量子アルゴリズムが存在し、$ Q_2(AO) $ の既知の上界と一致する。
• 順序特定問題は、有界誤差アルゴリズムが $ O(\log N) $ クエリで存在する一方で、効率的な弱い正確なアルゴリズムが知られていないことから、弱い量子ヤオの原理に対する候補反例である。
• 本稿では $ Q_2(f) \leq \max_\mu Q_{WE}^\mu(f) $ が確立され、弱い原理が一方的に成り立つことが確認された。
• 強い量子ヤオの原理は、特定の関数に対して $ Q_2(f) \ll \max_\mu Q_{SE}^\mu(f) $ が成り立つことから失敗しており、分布μ下での決定的のような振る舞いが、古典的状況と同様に量子複雑度を同じように制限しないことが示された。