[論文レビュー] On quasi-categories of comodules and Landweber exactness

Takeshi Torii|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Landweber exact $$\mathbb{S}$$-代数に付随する余代数上のコモジュールの擬態圏が、関連するフォーマル群の高さにのみ依存することを確立する。さらに、高さ$$n$$のLandweber exact $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数$$A$$に対して、$$E(n)$$-局所化スペクトルの擬態圏が$$A \otimes A$$上のコモジュールの擬態圏と同値であることを示し、$$K(n)$$-局所化対称スペクトルにおけるMorava $$E_n$$-理論の離散的モデル上のモジュール対象の圏が、$$K(n)$$-局所化圏のモデルを形成することを示している。

ABSTRACT

In this paper we study quasi-categories of comodules over coalgebras in a stable homotopy theory. We show that the quasi-category of comodules over the coalgebra associated to a Landweber exact S-algebra depends only on the height of the associated formal group. We also show that the quasi-category of E(n)-local spectra is equivalent to the quasi-category of comodules over the coalgebra A\otimes A for any Landweber exact S_(p)-algebra A of height n at a prime p. Furthermore, we show that the category of module objects over a discrete model of the Morava E-theory spectrum in the K(n)-local discrete symmetric G_n-spectra is a model of the K(n)-local category, where G_n is the extended Morava stabilizer group.

研究の動機と目的

• 局所化されたスペクトルの擬態圏と安定ホモトピー論における自己双対的余代数上のコモジュールの擬態圏との関係を調査すること。
• Landweber exact $$\mathbb{S}$$-代数に付随する余代数上のコモジュールの擬態圏が、関連するフォーマル群の高さにのみ依存することを示すこと。
• 高さ$$n$$のLandweber exact $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数$$A$$に対して、$$E(n)$$-局所化スペクトルの擬態圏と$$A \otimes A$$上のコモジュールの擬態圏との同値性を確立すること。
• $$K(n)$$-局所化対称$$\mathbb{G}_n$$-スペクトルにおけるMorava $$E_n$$-理論の離散的モデル上のモジュール対象の圏が、$$K(n)$$-局所化圏のモデルを形成することを示すこと。

提案手法

• 安定ホモトピー論$$\mathcal{C}$$における余代数対象のコモジュールの擬態圏を構成し、コモジュールを$$A$$-モジュールの対偶圏におけるモジュール対象として扱う。
• 代数対象$$A$$の$$\mathcal{C}$$において、余代数$$A \otimes A$$を定義し、この余代数上の左コモジュールの擬態圏を研究する。
• スカラー拡張関手$$B \otimes_A (-)$$を用いて、異なる代数上のコモジュールの擬態圏を関連付け、それらがコモジュール圏間の関手に拡張されることを示す。
• 安定ホモトピー論の結果、特にAdams-Novikovスペクトル系列と$$E$$-ベースのスペクトル系列を用い、導来ファンクターの原始的ファンクターに基づいて$$E_2$$-頁を分析する。
• $$E$$-ベースのAdams-Novikovスペクトル系列の$$E_2$$-頁がフォーマル群法則の高さにのみ依存することを活用し、コモジュール圏の不変性を導出する。
• マーク付き単体的集合とアノイドン写像（例：マーク付きアノイドン拡張）を用いて、$$\infty$$-圏における上昇性質を証明し、特に$$\pi$$-カルテジアン辺とファイブレーションに注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Landweber exact $$\mathbb{S}$$-代数に付随する余代数上のコモジュールの擬態圏は、関連するフォーマル群の高さにのみ依存するか？
• RQ2 $$E(n)$$-局所化スペクトルの擬態圏は、高さ$$n$$のLandweber exact $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数$$A$$に対して、$$A \otimes A$$上のコモジュールの擬態圏と同値か？
• RQ3 $$K(n)$$-局所化対称$$\mathbb{G}_n$$-スペクトルにおけるMorava $$E_n$$-理論の離散的モデル上のモジュール対象の圏は、$$K(n)$$-局所化圏のモデルとして機能できるか？
• RQ4 スカラー拡張関手$$L_{K(n)}(F_n \otimes (-))$$は、$$\Sigma{\rm Sp}(\mathbb{G}_n)_{K(n)}$$と$${\rm LMod}_{F_n}(\Sigma{\rm Sp}(\mathbb{G}_n)_{K(n)})$$の間で左クィルレン同値か？
• RQ5 $$E$$-ベースのAdams-Novikovスペクトル系列における導来ファンクターは、コモジュールの擬態圏の構造とどのように関係するか？

主な発見

• Landweber exact $$\mathbb{S}$$-代数$$A$$に対して、余代数$$A \otimes A$$上のコモジュールの擬態圏は、関連するフォーマル群の高さにのみ依存し、特定の代数に依存しない。
• 任意の高さ$$n$$のLandweber exact $$\mathbb{S}_{(p)}$$-代数$$A$$に対して、$$A \otimes A$$上のコモジュールの擬態圏は、$$E(n)$$-局所化スペクトルの擬態圏と同値である。
• スカラー拡張関手$$L_{K(n)}(F_n \otimes (-))$$は左クィルレン同値であり、$$K(n)$$-局所化対称$$\mathbb{G}_n$$-スペクトルにおける$$E_n$$の離散的モデル上のモジュール対象の圏が$$K(n)$$-局所化圏のモデルを形成することを確立する。
• $${\rm LMod}_{F_n}(\Sigma{\rm Sp}(\mathbb{G}_n)_{K(n)})$$は、$$K(n)$$-局所化圏のクィルレンモデルであり、この安定圏の離散的代数的モデルを提供する。
• 証明は、マーク付き単体的集合における上昇性質に依拠し、マーク付きアノイドン拡張と$$\pi$$-カルテジアン辺の条件を用いて、$$\Delta^n \times \Delta^2$$上での写像の拡張を構成する。
• 同値性の結果は、$$E$$-ベースのAdams-Novikovスペクトル系列の$$E_2$$-頁が高さに依存しない不変性に起因し、これによりコモジュールの導来圏が高さにのみ依存することが示唆される。