[論文レビュー] On R-matrix representations of Birman-Murakami-Wenzl algebras

A. P. Isaev, O. Ogievetsky+1 more|ArXiv.org|Sep 12, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Birman-Murakami-Wenzl (BMW)代数のR行列表現と表現空間V上の非退化な双線形形式の間の対応を確立し、このようなR行列が自然にSOまたはSp型の量子群構造を誘導することを示している。主な結果は、歪逆行列をもつR行列から不変量（双線形形式）を構成的に導出する手法であり、その直交性またはシミプレクティック性の条件はR行列の代数的性質によって定まる。

ABSTRACT

We show that to every local representation of the Birman-Murakami-Wenzl algebra defined by a skew-invertible R-matrix $R\in Aut(V\otimes V)$ one can associate pairings $V\otimes V o C$ and $V^*\otimes V^* o C$, where V is the representation space. Further, we investigate conditions under which the corresponding quantum group is of SO or Sp type.

研究の動機と目的

• BMW代数のR行列表現が直交的またはシミプレクティック的量子群に対応する条件を特定すること。
• 任意の歪逆行列をもつR行列から、スカラー倍を除いて一意に定まる表現空間V上の非退化な双線形形式を構成すること。
• 誘導された双線形形式が量子群coactionに関して不変となる代数的条件を同定すること。
• so_Nおよびsp_Nの既知のR行列を、関連行列Xがスカラーでないタイプのねじれバージョンに一般化し、実現可能な量子群のクラスを拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、R行列を基本対象として、隣接するテンソル因子への標準的R行列作用により、テンソル積V^{⊗n}上でのBMW代数の局所的表現を定義する。
• 歪逆行列性の条件とYang-Baxter方程式を用いて、R行列から自然な双線形形式g: V ⊗ V → Cおよびその双対 Ś: V* ⊗ V* → Cを導出する。
• 量子群G_qによるVへのcoactionを用いて双線形形式の不変性を解析し、τ = 1の条件が不変性を保証することを示す。
• 対角的ねじれ行列Fを用いて、標準的R行列（例：so_Nおよびsp_N型）にねじれを適用し、関連行列Xが非スカラーとなる新しいR行列を生成する。
• 得られたねじれR行列がBMW代数の関係およびYang-Baxter方程式を保ちつつ、双線形形式の構造とτの中心性を変更することを示す。
• 本稿では、U_q(g)の標準的元とDrinfeld-Jimbo実現を用いてR行列と量子群構造（特にg = so_Nまたはsp_Nの場合）を関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BMW代数のR行列表現が直交的またはシミプレクティック的量子群に対応する条件は何か？
• RQ2 歪逆行列をもつR行列から、表現空間V上の非退化な双線形形式を一意に再構成する方法は何か？
• RQ3 誘導された双線形形式が量子群coactionに関して不変となる条件は何か？
• RQ4 R行列にねじれを施すと、関連行列Xおよびトレース要素τの中心性にどのような影響があるか？
• RQ5 so_Nおよびsp_Nの標準的R行列を、Xが非スカラーとなるようにねじれ手続きを用いて一般化できるか？ その際、BMW代数の関係が保たれるか？

主な発見

• 任意の歪逆行列をもつR行列がBMW代数の表現を生成する場合、スカラー倍を除いて一意に定まる非退化な双線形形式g: V ⊗ V → Cを構成可能である。
• 双線形形式gがG_qのcoactionに関して不変であるための必要十分条件はτ = 1であり、これはso_Nおよびsp_N型の標準的R行列において成立する。
• ねじれR行列（43）は、X_i^j = δ_i^j d_{i' i} d_{ii'}^{-1} で与えられる非スカラー行列X = (X_i^j) をもたらし、この場合τは一般には代数F(R)の中心的でないことが示された。
• so_{2n+1}、so_{2n}、sp_{2n}の標準的R行列は、それぞれν = q^{1-N}およびν = -q^{-1-2N}をパラメータにもつBMW代数に対応し、X = I（スカラー）をもつ。
• ねじれ手続きはBMW代数の関係およびYang-Baxter方程式を保ち、非スカラーXおよび非中心的τをもつ新たなR行列を構成可能であり、実現可能な量子群のクラスを拡張する。
• 本稿は、量子群のタイプ（SOまたはSp）がR行列の構造によって決定されることを確認した：so_Nではε_i = 1、sp_Nではε_i = 1 = -ε_{i'}である。