[論文レビュー] On ramification filtrations and $p$-adic differential modules, I: equal characteristic case

Liang Xiao|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴標数 $p>0$ の完備離散的絶対値を持つ体上の、有限局所モノドロミーをもつ $p$-進ガロア表現について、算術的（Abbes-Saito）、微分的（Kedlaya）、およびBorgerの一般性の完全化による導出の三つの $p$-進導出指数の等価性を確立する。これらの導出指数が一致し、非負整数であることを示すことにより、不完全な残渣体の場合の算術的分岐フィルトレーションに対するHasse-Arf定理を証明し、$p$-進ホッジ理論および分岐理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $k$ be a complete discretely valued field of equal characteristic $p > 0$ with possibly imperfect residue field and let $G_k$ be its Galois group. We prove that the conductors computed by the arithmetic ramification filtrations on $G_k$ coincide with the differential Artin conductors and Swan conductors of Galois representations of $G_k$. As a consequence, we give a Hasse-Arf theorem for arithmetic ramification filtrations in this case. As applications, we obtain a Hasse-Arf theorem for finite flat group schemes; we also give a comparison theorem between the differential Artin conductors and Borger's conductors.

研究の動機と目的

• 特徴標数 $p>0$ で残渣体が不完全な場合に、AbbesとSaitoが定義した算術的分岐フィルトレーションが、Kedlayaが定義した微分的導出指数と一致するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 有限局所モノドロミーをもつ $p$-進ガロア表現について、算術的、微分的、およびBorgerの導出指数が同一であることを証明すること。
• 残渣体が不完全な場合の特徴標数 $p>0$ の場合に対し、算術的分岐フィルトレーションに対するHasse-Arf定理を確立すること。
• 一般性の完全化を用いて定義されるBorgerの導出指数と、微分的および算術的導出指数との比較と関係の特定。
• この導出指数の等価性を用いて、有限平坦群スキームに対しHasse-Arf定理を拡張し、一般 $p^{ u}$-乗根拡張において微分的導出指数が不変であることを示すこと。

提案手法

• 有限局所モノドロミーをもつ $p$-進ガロア表現に関連するRobba環上の $p$-進微分モジュールを構成する。
• Kedlayaの枠組みに従い、微分作用素のスペクトルノルムを用いて微分的ArtinおよびSwan導出指数を計算する。
• 厚み化技術と剛体的解析幾何学を用いて、Abbes-Saito空間とその上への持ち上げにおけるスペクトルノルムを比較する。
• 体 $k$ 上の剛体的空間を、一般 $p^{ u}$-乗根を添加して得られる $k'$ に持ち上げる構成を用い、スペクトルノルムを保存する。
• 微分モジュール上の回転自己同型を用いて、このような拡張における微分的導出指数の不変性を示す。
• 逐次的に $p^{ u}$-乗根を添加することで一般化し、有限 $p$-基底の状況に帰着させる。また、一般残渣完全化 $k^g$ への整合的な準同型を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴標数 $p>0$ で残渣体が不完全な場合に、AbbesとSaitoが定義した算術的分岐フィルトレーションは、Kedlayaが定義した微分的導出指数と一致するか？
• RQ2 残渣体が不完全な場合に、算術的分岐フィルトレーションに対するHasse-Arf定理は成立するか？
• RQ3 一般性の完全化を用いて定義されるBorgerの導出指数は、この文脈で微分的および算術的導出指数と一致するか？
• RQ4 一般 $p^{ u}$-乗根を底体に添加しても、微分的導出指数は不変であるか？
• RQ5 この導出指数の等価性を用いて、有限平坦群スキームに対しHasse-Arf定理を拡張できるか？

主な発見

• 任意の特徴標数 $p>0$ の完備離散的絶対値体上の有限局所モノドロミーをもつ $p$-進ガロア表現について、算術的Artin導出指数、微分的Artin導出指数、およびBorgerの導出指数はすべて一致する。
• 算術的および微分的Swan導出指数は同一であり、両方とも非負整数である。これにより、不完全な残渣体の場合の算術的分岐フィルトレーションに対するHasse-Arf定理が裏付けられる。
• 算術的分岐フィルトレーションの部分商 $\mathrm{Fil}^a G_k / \mathrm{Fil}^{a+} G_k$ は、$a \notin \mathbb{Q}$ のとき自明であり、$a \in \mathbb{Q}_{>1}$ のときは基本的 $p$-アーベル群である。これはHasse-Arfが予測する構造を確認する。
• 一般 $p^{ u}$-乗根を底体に添加しても、微分的導出指数は不変であり、これにより有限 $p$-基底の状況に帰着できる。
• 表現 $\rho$ の微分的Artin導出指数は、一般残渣完全化 $k^g$ のガロア群への制限の微分的Artin導出指数に等しく、これは既にHasse-Arfを満たすことが知られている。
• 有限平坦群スキームに対しても、その導出指数が関連するガロア表現を介して定義されるため、Hasse-Arf定理は成り立つ。