[論文レビュー] On random convex analysis -- the analytic foundation of the module approach to conditional risk measures

Tiexin Guo, Shien Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Risk and Portfolio Optimization参考文献 38被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$(\varepsilon,\lambda)$-位相と局所 $L^0$-凸位相を統合することにより、確率的局所凸モジュール上に完全な確率的凸解析枠組みを確立し、任意の $L^0$-凸 $L^p$-条件付きリスク測度（$1 \leq p \leq \infty$）が一意に $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件付きリスク測度へ拡張可能であることを証明する。主な貢献は、$L^p$-測度の双対表現がより一般の $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-枠組みの特殊ケースであることを示したことにより、それらの研究を統合し、可算連結包と局所的性質が $L^0$-凸リスク測度解析を簡略化する強力な解析的道具であることが明らかになったことである。

ABSTRACT

To provide a solid analytic foundation for the module approach to conditional risk measures, this paper establishes a complete random convex analysis over random locally convex modules by simultaneously considering the two kinds of topologies (namely the $(\varepsilon,λ)$--topology and the locally $L^0$-- convex topology). Then, we make use of the advantage of the $(\varepsilon,λ)$--topology and grasp the local property of $L^0$--convex conditional risk measures to prove that every $L^{0}$--convex $L^{p}$--conditional risk measure ($1\leq p\leq+\infty$) can be uniquely extended to an $L^{0}$--convex $L^{p}_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$--conditional risk measure and that the dual representation theorem of the former can also be regarded as a special case of that of the latter, which shows that the study of $L^p$--conditional risk measures can be incorporated into that of $L^{p}_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$--conditional risk measures. In particular, in the process we find that combining the countable concatenation hull of a set and the local property of conditional risk measures is a very useful analytic skill that may considerably simplify and improve the study of $L^{0}$--convex conditional risk measures.

研究の動機と目的

• 確率的凸解析を用いて、モジュール的アプローチによる条件付きリスク測度の厳密な解析的基盤を提供すること。
• 前者が後者へ一意に拡張可能であることを証明することにより、$L^p$-条件付きリスク測度と $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件付きリスク測度の研究を統合すること。
• $L^p$-条件付きリスク測度の双対表現が、より一般の $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-枠組みの特殊ケースであることを示すこと。
• 可算連結包と局所的性質を、$L^0$-凸リスク測度解析を簡略化する主要な解析的道具として同定し、それらを活用すること。
• $(\varepsilon,\lambda)$-位相における拡張されたリスク測度の下方連続性および連続性の同値条件を確立すること。

提案手法

• 確率的局所凸モジュール上における二つの位相、すなわち $(\varepsilon,\lambda)$-位相と局所 $L^0$-凸位相を同時に分析する。
• 両方の位相下でFenchel-Moreau双対定理を適用し、$L^0$-凸下方連続なproper関数の双対表現を導出する。
• 条件付きリスク測度の局所的性質と集合の可算連結包を用いて、解析を簡略化し、拡張定理を証明する。
• 双対性と位相的特徴付けを用いて、$(\varepsilon,\lambda)$-位相下での拡張されたリスク測度の下方連続性と連続性の同値性を確立する。
• 補題3.16および補題4.24を適用し、双対関数を関連づけ、$f^* = \bar{f}^*$ を証明することで、$L^p(\mathcal{E})$ と $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$ 空間間での双対性結果の移行を可能にする。
• $L^p$-条件付きリスク測度の双対表現が、双対変数の特定の積分可能性および期待値制約の下で、$L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-測度の双対表現と同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^0$-凸 $L^p$-条件付きリスク測度は、一意に $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件付きリスク測度へ拡張可能か？
• RQ2 $L^p$-条件付きリスク測度の双対表現は、$L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-枠組みにおける双対表現の特殊ケースか？
• RQ3 確率的凸解析と双対性の文脈において、$(\varepsilon,\lambda)$-位相と局所 $L^0$-凸位相の関係は何か？
• RQ4 集合の可算連結包は、$L^0$-凸条件付きリスク測度の解析簡略化において果たす役割は何か？
• RQ5 $(\varepsilon,\lambda)$-位相下で、拡張された $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-リスク測度が下方連続または連続であるための条件は何か？

主な発見

• 任意の $L^0$-凸 $L^p$-条件付きリスク測度（$1 \leq p \leq \infty$）は、一意に $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-条件付きリスク測度へ拡張可能である。
• $L^p$-条件付きリスク測度の双対表現は、その $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$ への拡張の双対表現と同等であり、より一般の $L^p_{\mathcal{F}}(\mathcal{E})$-枠組みが $L^p$-ケースを包含していることを意味する。
• 集合の可算連結包と条件付きリスク測度の局所的性質の組み合わせは、$L^0$-凸リスク測度の研究を簡略化する強力な解析的道具である。
• 定理4.31は、$L^p$-条件付きリスク測度の双対表現に関する7つの同値条件を確立しており、$(\varepsilon,\lambda)$-位相下での下方連続性および連続性を含む。
• 拡張されたリスク測度 $\bar{f}$ が $(\varepsilon,\lambda)$-位相下で下方連続であるための必要十分条件は、双対変数が $E(|y|^{q}|\mathcal{F}) \in L^\infty(\mathcal{F})$ かつ $E(y|\mathcal{F}) = -1$ を満たすことである。
• 定理4.31の証明は、[10]の補題4.27のより短く一般性の高い証明を提供するとともに、その有効性の必要十分条件を確立している。