[論文レビュー] On Randomized and Quantum Query Complexities

Gatis Midrijānis|ArXiv.org|Jan 25, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、全ブール関数における決定的、確率的、量子クエリ複雑性の間の tighter な境界を確立する。1 通りの誤りを持つ量子アルゴリズムについて、決定的クエリ複雑性 D(f) が O(Q₁(f)³) であることを証明し、以前の結果を改善する。また、ゼロエラーと二面の誤りを持つ確率的アルゴリズムの間で、R₀(f) = O(R₂(f)² log N) を示し、クエリ複雑性理論におけるデランドマイゼーションとデキュアンタイゼーションの目標を前進させる。

ABSTRACT

We study randomized and quantum query (a.k.a. decision tree) complexity for all total Boolean functions, with emphasis to derandomization and dequantization (removing quantumness from algorithms). Firstly, we show that $D(f) = O(Q_1(f)^3)$ for any total function $f$, where $D(f)$ is the minimal number of queries made by a deterministic query algorithm and $Q_1(f)$ is the number of queries made by any quantum query algorithm (decision tree analog in quantum case) with one-sided constant error; both algorithms compute function $f$. Secondly, we show that for all total Boolean functions $f$ holds $R_0(f)=O(R_2(f)^2 \log N)$, where $R_0(f)$ and $R_2(f)$ are randomized zero-sided (a.k.a Las Vegas) and two-sided (a.k.a. Monte Carlo) error query complexities.

研究の動機と目的

• 全ブール関数における決定的、確率的、量子クエリ複雑性の関係をより緊密にすること。
• 量子および確率的対応物を用いた決定的複雑性の上界を改善することで、デランドマイゼーションとデキュアンタイゼーションの目標を前進させること。
• 特に Buhrman らおよび Aaronson の結果を改善し、1 通りの誤りを持つ量子およびゼロエラーの確率的クエリモデルに関する既存の境界を改善すること。
• 多項式法がクエリ複雑性の分析にどのように役立つかを調べること、特にブロック感度と次数の境界を通じて。
• 既知のクエリ複雑性モデル間の分離の最適性に関する未解決の問いを解消すること。

提案手法

• T クエリの量子アルゴリズムの出力確率が、次数が 2T 未満の多重線形多項式で表されることを活用し、多項式法を用いて量子クエリアルゴリズムを分析する。
• ブロック感度の下界技術を適用し、非決定的多項式におけるマキシモニアルをクエリすることで、ブロック感度が少なくとも 1 減少することを示す。
• Nisan-Szegedy の定理（ブロック感度 bs(f) は \widetilde{deg}(f)² の O である）を用い、多項式次数と感度測度を結びつける。
• 近似多項式の次数とクエリ複雑性の関係を関係づけ、Q₁(f) ≥ min(ndeg(f), ndeg(1−f))/2 であるという事実を用いて境界を導出する。
• これらの多項式境界を、互いに素な感度ブロックに関する組み合わせ的議論と組み合わせ、最終的な複雑性関係を導出する。
• 任意の f(w)=0 を満たす入力 w と、非決定的多項式 p のマキシモニアル M に対して、f(w^B)=1 を満たす変数の集合 B が存在することを活用し、ブロック感度の低下を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的クエリ複雑性 D(f) を、1 通りの誤りを持つ量子クエリ複雑性 Q₁(f) に関してより緊密に束縛できるか？
• RQ2 全ブール関数について、ゼロエラーの確率的複雑性 R₀(f) と二面の誤りを持つ確率的複雑性 R₂(f) の間の最適な関係は何か？
• RQ3 多項式法をどのようにして、量子および確率的クエリ複雑性における既知の境界を改善するために用いることができるか？
• RQ4 既知の量子と古典的クエリ複雑性の分離は最適であり、さらに縮小可能か？
• RQ5 特定の関数クラスに関して、既知の境界を超えて、決定的と確率的複雑性の差を埋め合わせられるか？

主な発見

• 本論文は、すべての全ブール関数 f に対して D(f) = O(Q₁(f)³) を証明し、Buhrman らの以前の O(Q₁(f)⁴) の境界を改善する。
• R₀(f) = O(R₂(f)² log N) を確立し、ゼロエラーと二面の誤りを持つ確率的クエリ複雑性の関係を緊密にする。
• D(f) = O(Q₁(f)³) の結果は、非決定的多項式におけるマキシモニアルを分析するという、多項式法の新しい応用によって得られている。
• R₀(f) = O(R₂(f)² log N) の境界は、ブロック感度の議論と確率的クエリ複雑性の分析を組み合わせることで導出された。
• Aaronson よりも前の結果を改善し、1 通りの誤りを持つ量子アルゴリズムのより緊密なデキュアンタイゼーション結果を提供する。
• 分析により、特に ndeg(f) および \widetilde{deg}(f) における多項式次数の境界が、クエリ複雑性の分離を導出する上で中心的役割を果たしていることが確認された。