[論文レビュー] On Range Searching with Semialgebraic Sets II

Pankaj K. Agarwal, Jiřı́ Matoušek+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、ℝᵈにおける定数複雑度の半代数的集合に対して、線形サイズのデータ構造を提示し、多項式分割を用いて定数時間のクエリ時間に近いO(n¹⁻¹⁄ᵈ)を達成する。これは、d ≥ 5において、1994年のO(n¹⁻¹⁄ᵈ⁺ε)の結果を著しく改善し、長年の未解決問題にほぼ解決をもたらす。ランダム化アルゴリズムを用いて効率的な多項式分割を構築することで実現される。

ABSTRACT

Let $P$ be a set of $n$ points in $\R^d$. We present a linear-size data structure for answering range queries on $P$ with constant-complexity semialgebraic sets as ranges, in time close to $O(n^{1-1/d})$. It essentially matches the performance of similar structures for simplex range searching, and, for $d\ge 5$, significantly improves earlier solutions by the first two authors obtained in~1994. This almost settles a long-standing open problem in range searching. The data structure is based on the polynomial-partitioning technique of Guth and Katz [arXiv:1011.4105], which shows that for a parameter $r$, $1 < r \le n$, there exists a $d$-variate polynomial $f$ of degree $O(r^{1/d})$ such that each connected component of $\R^d\setminus Z(f)$ contains at most $n/r$ points of $P$, where $Z(f)$ is the zero set of $f$. We present an efficient randomized algorithm for computing such a polynomial partition, which is of independent interest and is likely to have additional applications.

研究の動機と目的

• ℝᵈにおける定数複雑度の半代数的集合に対する線形空間のデータ構造の開発を目的とする。
• クエリ時間O(n¹⁻¹⁄ᵈ)に近い性能を達成し、単体範囲検索構造と同等の性能を実現することを目的とする。
• d ≥ 5において、1994年のO(n¹⁻¹⁄ᵈ⁺ε)の境界を改善することで、長年の未解決問題をほぼ解決することを目的とする。
• 効率的なランダム化アルゴリズムを提供し、多項式分割を効率的に構築することを目的とする。これは独立した価値を持つ。

提案手法

• GuthとKatzの多項式分割技術を用い、ℝᵈを各々が高々n/r個の点を含む細胞に分割する。
• ℝᵈ⧵Z(f)が低点数の連結成分に分割されるような、d変数の多項式f（次数O(r¹ᐟᵈ)）を構築する。
• 再帰的分解戦略を採用し、各細胞および分割のピースに二次的なデータ構造を構築する。
• 退化した点集合（低次元代数的曲面上に多くの点が存在する）を処理するために、マルチレベル構築法を適用する。
• 前処理時間の制御にパラメータδ*を用い、δ* = ε/cと設定することでO(n¹⁺ε)の前処理時間を達成する。
• 多項式分割を効率的に計算するランダム化アルゴリズムを統合し、範囲検索以外の応用にも応用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数複雑度の半代数的集合に対する線形サイズのデータ構造を、クエリ時間がO(n¹⁻¹⁄ᵈ)に近いものとして構築可能か？
• RQ2 多項式分割技術を適応させることで、定数複雑度の半代数的集合に対して近似的最適なクエリ時間を達成可能か？
• RQ3 多項式分割を効率的に計算するランダム化アルゴリズムを設計可能か？そのアルゴリズムにより高速な範囲クエリが可能か？
• RQ4 多くの点が低次元代数的曲面上に存在するような、極めて退化した点集合を、範囲検索で効果的に処理できるか？

主な発見

• 任意のε > 0に対して、線形空間でO(n¹⁻¹⁄ᵈ⁺ε)のクエリ時間を達成し、単体範囲検索構造の最適性能にほぼ一致する。
• d ≥ 5において、1994年のO(n¹⁻¹⁄ᵈ⁺ε)の境界を著しく改善し、長年の未解決問題にほぼ解決をもたらす。
• パラメータδ* = ε/cとすることで、任意のε > 0に対してO(n¹⁺ε)の前処理時間を達成する。
• 多項式分割を効率的に計算するランダム化アルゴリズムを開発し、これは効率的かつ独立した価値を持つ。
• マルチレベル多項式分割アプローチにより、退化した構成を効果的に処理し、従来の研究における主なボトルネックを解消する。
• 構築手法は頑健で汎用的であり、固定されたd, Δ, sに対して、任意の定数複雑度の半代数的集合の族Γ₅,Δ,sに適用可能である。