[論文レビュー] On Rastall gravity formulation as a $f(R,\mathcal{L}_m)$ and a $f(R,T)$ theory

J. C. Fabris, Oliver F. Piattella+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2020

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ストレステンソルの発散がリッチスカラーの勾配に比例するRastall重力が、$f(R,\mathcal{L}_m)$ もしくは $f(R,T)$ 重力作用から導かれるかどうかを調査する。Rastallの場の運動方程式はこれらの拡張重力理論のそれらに類似しているが、特別な場合を除き、Rastallのストレステンソルはそれらから完全に回復できないことが示され、標準的作用に基づく枠組みに直接Rastallの共変的かつ可逆なSET再定義を埋め込むことの困難さが強調される。

ABSTRACT

Rastall introduced a stress-energy tensor whose divergence is proportional to the gradient of the Ricci scalar. This proposal leads to a change in the form of the field equations of General Relativity, but it preserves the number of degrees of freedom. Rastall's field equations can be either interpreted as GR with a redefined SET, or it can imply different physical consequences inside the matter sector. We investigate limits under which the Rastall field equations can be directly derived from an action, in particular from two $f(R)$-gravity extensions: $f(R,\mathcal L_m)$ and $f(R,T)$. We show that there are similarities between these theories, but the Rastall SET cannot be fully recovered from them, apart from certain particular cases here discussed. It is remarkable that a simple, covariant and invertible redefinition of the SET, as the one proposed by Rastall, is hard to be directly implemented in the action.

研究の動機と目的

• Rastall重力の場の運動方程式が $f(R,\mathcal{L}_m)$ または $f(R,T)$ 重力作用から導かれるかどうかを特定すること。
• Rastallの修正されたストレステンソル保存則と標準的作用に基づく重力理論との間の物理的・数学的整合性を検討すること。
• Rastallの定式化と標準一般相対性理論を結ぶ役割を果たす保存テンソル $T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$ の役割を明確化すること。
• 特に場の再定義を介して、Rastallの非標準的SETを直接作用から導出可能かどうかを調査すること。
• $f(R,T)$ および $f(R,\mathcal{L}_m)$ 理論が一般条件下でRastall重力の力学を完全に再現可能かどうかを評価すること。

提案手法

• 自由パrameter $\gamma$ を持つ、$\nabla^\mu T^{\text{(R)}}_{\mu\nu} \propto \nabla^\nu R$ を満たす修正されたストレステンソルからRastallの場の運動方程式を導出する。
• 線形かつ可逆な変換により $T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$ から保存テンソル $T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$ を導入し、標準一般相対性理論における再定義された物質内容との等価性を実現する。
• 標準一般相対性理論の定義 $T^{\text{(S)}}_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu\nu}}$ を用いて、Rastall枠組みから保存電流を回復する。
• 場の再定義（例：$\partial_\mu \phi \propto (\partial_\lambda \xi \partial^\lambda \xi)^{(1-k)/(2k)} \partial_\mu \xi$）を用いて、Rastallのスカラー場の力学をk-essence作用に写像する。
• $f(R,T)$ および $f(R,\mathcal{L}_m)$ 理論を、作用を重力的および物質的成分に分解することで分析し、得られる $T_{\mu\nu}$ がRastall形式と一致するかどうかを評価する。
• Rastallの場の運動方程式が標準的作用から導出可能である一方で、元の $T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$ はそのような作用の計量変分によって直接得られないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rastall重力の場の運動方程式は、$f(R,\mathcal{L}_m)$ もしくは $f(R,T)$ 作用から導出可能か？
• RQ2 Rastallの枠組みにおいて、保存テンソル $T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$ と標準ストレステンソル $T^{\text{(S)}}_{\mu\nu}$ の関係は何か？
• RQ3 どのような条件下で、Rastallのストレステンソルは $f(R,T)$ や $f(R,\mathcal{L}_m)$ 理論から回復可能か？
• RQ4 計量変分によって直接Rastallの非保存的 $T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$ を得られる一貫性のある作用定式化は存在するか？
• RQ5 場の再定義は、Rastallのスカラー場の力学をk-essenceや標準スカラー場作用にどのように関連付けるか？

主な発見

• Rastallの場の運動方程式は、再定義された物質ストレステンソル $T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$ を用いて標準一般相対性理論に写像可能であり、このテンソルは保存的であり $T^{\text{(S)}}_{\mu\nu}$ と等価である。
• パrameter $\gamma \neq 3/2$ の場合、$T^{\text{(R)}}_{\mu\nu}$ と $T^{\text{(C)}}_{\mu\nu}$ 間の変換は線形かつ可逆であり、標準的作用からRastallテンソルを完全に再構成可能である。
• 一般には、$f(R,T)$ や $f(R,\mathcal{L}_m)$ 作用からRastallのストレステンソルを完全に回復することはできないが、重力的および物質的成分に明確に分離可能な場合に限り、特定の条件下で可能である。
• $f(R,T)$ 理論において、作用内に現れる $T_{\mu\nu}$ は一般に保存的ではないし、保存電流も一般に作用に使われる $T_{\mu\nu}$ と一致しない。
• Rastall重力における自由スカラー場は、場の再定義によりk-essence場に写像可能であり、対応する作用 $S[\xi] = \int (\partial_\mu \xi \partial^\mu \xi)^{1/k} \sqrt{-g} \, d^4x$ はRastall定式化と同一の保存電流を生成する。
• 本稿の結論として、Rastall重力は再定義された物質内容を伴う一般相対性理論と力学的に同等であるが、追加の場の再定義や制約なしには、標準的作用に基づく $f(R,\mathcal{L}_m)$ や $f(R,T)$ 框組みからRastallの非標準的SETを直接導出することはできない。