[論文レビュー] On rational cuspidal plane curves, and the local cohomology of Jacobian rings

Alexandru Dimca|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、重み付き斉次特異点のみをもつ6次以上の有理分岐平面曲線を分類し、それらが $ C_{d,k}: y^d + x^k z^{d-k} = 0 $ の形で、$ 1 \leq k < d/2 $、$ \gcd(k,d) = 1 $ を満たすものと射影的に同値であることを証明する。また、次数、チュリナ数、および $ mdr(f) $ を用いた不変量 $ \nu(C) $ の新しい公式を確立し、自由性の組み合わせ的決定に関するテラオの予想のより強い形を提案する。

ABSTRACT

This note gives the complete projective classification of rational, cuspidal plane curves of degree at least 6, and having only weighted homogeneous singularities. It also sheds new light on some previous characterizations of free and nearly free curves in terms of Tjurina numbers. Finally, we suggest a stronger form of Terao's conjecture on the freeness of a line arrangement being determined by its combinatorics.

研究の動機と目的

• 6次以上の有理分岐平面曲線で、重み付き斉次特異点のみをもつものについて分類すること。
• チュリナ数と $ mdr(f) $ を用いて、ほぼ自由曲線および自由曲線を特徴づけ、既存の結果を拡張すること。
• ラインアレンジメントに関して、$ \nu(C) $ が組み合わせ的に決定可能であることを示唆する、テラオの予想のより強い形を提唱すること。
• すべての非特異平面曲線に対して、次数、チュリナ数、および $ mdr(f) $ を用いた $ \nu(C) $ の正確な公式を確立すること。
• このような曲線の完全な射影的分類を提供し、それらがすべて二項分岐曲線 $ C_{d,k} $ と射影的に同値であることを示すこと。

提案手法

• 曲線の分類の鍵として、ヤコビアン関係の最小次数 $ mdr(f) $ を不変量として用いる。
• ドゥ・プリュシーとウォールの重み付き斉次特異点およびそのチュリナ数に関する結果を適用する。
• 局所コホホロジー加群 $ N(f) = I_f / J_f $ を用い、ここで $ I_f $ はヤコビアンイデアル $ J_f $ の飽和である。このとき $ \nu(C) = \max_k \dim N(f)_k $ と定義する。
• $ N(f) $ の Lefschetz 型性質を用いて、その各次数成分の次元に関する不等式を導出する。
• 奇数次の曲線に対して $ N(f) $ の自己双対性を用い、$ \dim N(f)_{3m-2} $ と $ \dim N(f)_{3m-1} $ の関係を結ぶ。
• $ mdr(f) = 1 $ かつ1次元の対称性群をもつ既約曲線の分類を用い、それらがすべて二項形 $ C_{d,k} $ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次以上の有理分岐平面曲線で、重み付き斉次特異点のみをもつものの完全な射影的分類は何か？
• RQ2 局所コホホロジーによる定義された不変量 $ \nu(C) $ は、非特異平面曲線に対して、次数、チュリナ数、および $ mdr(f) $ とどのように関係するか？
• RQ3 テラオの自由性の組み合わせ的決定に関する予想は、$ \nu(C) $ を含めたより強い形に拡張可能か？
• RQ4 6次以上の有理分岐曲線で、重み付き斉次特異点のみをもつものは有限個に限られ、そのすべては何か？
• RQ5 有理分岐曲線がほぼ自由または自由であるための条件は何か？また、$ mdr(f) $ はその判定にどのように寄与するか？

主な発見

• 6次以上の有理分岐平面曲線で、重み付き斉次特異点のみをもつものは、すべて $ C_{d,k}: y^d + x^k z^{d-k} = 0 $ と射影的に同値であり、ここで $ 1 \leq k < d/2 $ かつ $ \gcd(k,d) = 1 $ を満たす。このとき、$ \phi(d)/2 $ 個の異なるモデルが得られる。
• 任意の非特異平面曲線 $ C $ に対して、$ r = mdr(f) $ とおくと、$ r < d/2 $ のとき $ \nu(C) = (d-1)^2 - r(d-1-r) - \tau(C) $ が成り立ち、$ r \geq (d-2)/2 $ のときは $ \nu(C) = \lceil \frac{3}{4}(d-1)^2 \rceil - \tau(C) $ が成り立つ。
• すべての $ mdr(f) = 1 $ のような曲線 $ C_{d,k} $ はほぼ自由であるが、$ d \geq 6 $ のとき、それらのうちのいかなる曲線も自由ではない。
• 例から、$ mdr(f) $ は組み合わせ的に決定されないことが示されるが、本論文は $ \nu(C) $ がその可能性を示唆し、テラオの予想のより強い形に至る。
• $ d = 5 $ の場合、分類は失敗する。これは $ mdr(f) = 2 $、$ \tau(C) = \tau(5,2)_{\max} $ を満たす自由曲線が存在し、$ C_{d,k} $ のモデルではカバーされないためであり、$ d \geq 6 $ の条件の必要性を示している。
• $ \mu(C) = \tau(C) $ だが有理ではない曲線が存在する。例えば $ C_{2k}: x^{2k} + y^{2k} + z^{2k} - 2(x^k y^k + x^k z^k + y^k z^k) = 0 $ は、$ mdr(f) = k $ をもち、 genus $ \frac{(k-1)(k-2)}{2} $ をもつ、既約で分岐したほぼ自由曲線の例である。