[論文レビュー] On real log canonical thresholds

Morihiko Saito|ArXiv.org|Jul 16, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、実代数的関数に対する実対数 canonical しきい値（rlct）および実ジャンピング数を導入し、それらを複素数の場合と区別する。rlct が 1 を超えることがあり、特に高codimension の零点集合において、複素対数 canonical しきい値や分布 |f|^s の最大極と異なることがある。また、実ジャンピング数が複素化の非整数ジャンピング数と離れていることがあることを証明する。

ABSTRACT

We introduce real log canonical threshold and real jumping numbers for real algebraic functions. A real jumping number is a root of the $b$-function up to a sign if its difference with the minimal one is less than 1. The real log canonical threshold, which is the minimal real jumping number, coincides up to a sign with the maximal pole of the distribution defined by the complex power of the absolute value of the function. However, this number may be greater than 1 if the codimension of the real zero locus of the function is greater than 1. So it does not necessarily coincide with the maximal root of the b-function up to a sign, nor with the log canonical threshold of the complexification. In fact, the real jumping numbers can be even disjoint from the non-integral jumping numbers of the complexification.

研究の動機と目的

• 実代数的関数に対する実対数 canonical しきい値（rlct）および実ジャンピング数を定義し、それらを研究すること。
• 分布 ∫|f|^s ω の極と rlct の関係を、特に実零点集合の codimension >1 の場合に明確にすること。
• rlct が 1 を超える可能性があり、複素対数 canonical しきい値および分布の最大極と異なることがあることを示すこと。
• 実ジャンピング数が複素化の非整数ジャンピング数と離れていることがあることを示すこと。
• 実特異点解消における重複度およびヤコビアン寄与の観点から、rlct の公式を確立すること。

提案手法

• 実解析的関数 g に対して |g|/|f|^α の局所 L^1 積分可能性を用いて、実乗数イデアル J(X_R, f^α) を定義する。
• 滑らかな実中心に沿った吹き上げを用いた実特異点解消を用い、f と体積形式の引き戻しを単項式形で表現する。
• rlct を min_j (a_j + 1)/m_j として公式化する。ここで m_j と a_j は、例外的除集合に沿った f の重複度およびヤコビアンの重複度である。
• 分布 ∫|f|^s ω の極と rlct を関係づけ、最大極 p(f,ω) が p(f,ω) ≥ rlct(f) ≥ lct(f_C) を満たすことを示す。
• 孤立特異点を持つ例を構成し、rlct(f) > lct(f_C) となる例を示す。特に、実零点集合の codimension >1 の場合に顕著である。
• フィルター付き D-加群およびモノドロミー表現を用いてスペクトルを解析し、特定の実ジャンピング数が複素スペクトルに現れないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実代数的関数の実対数 canonical しきい値（rlct）は、その複素化の対数 canonical しきい値とどのように関係するか？
• RQ2 rlct は 1 を超える可能性があるか。もしそうならば、実零点集合の幾何的条件は何か？
• RQ3 実ジャンピング数は常に複素化の非整数ジャンピング数と一致するのか、それとも離れていることがあるのか？
• RQ4 分布 ∫|f|^s ω の極は、rlct および複素 b-関数とどのように関係するか？
• RQ5 実ジャンピング数は、複素化関数のスペクトルに現れるのか、それとも複素スペクトルとは独立しているのか？

主な発見

• 実対数 canonical しきい値 rlct(f) は、実特異点解消における例外的除集合に沿った f の重複度 m_j およびヤコビアンの重複度 a_j を用いて、min_j (a_j + 1)/m_j で与えられる。
• rlct(f) は 1 を超えることがあり、特に f が特異的型（exceptional type）である、すなわち実零点集合の codimension >1 の場合に顕著である。
• 例として、孤立特異点を持つ関数では rlct(f) = n/d > 1 であり、lct(f_C) ≤ 1 であるため、rlct(f) が複素対数 canonical しきい値を上回ることがある。
• 実ジャンピング数 RJN(f) は、複素化の非整数ジャンピング数と離れていることがある。特に、rlct(f) = 3/4 が f_C のジャンピング数でない例で示された。
• n=3, d=e=2, c=2 の例では、実ジャンピング数は {k/4 | k≥3} であるが、複素ジャンピング数は {k/6 + j | k=4,5,6; j∈N} に含まれるため、完全な不一致が生じる。
• 分布 ∫|f|^s ω の最大極 p(f,ω) は、p(f,ω) ≥ rlct(f) を満たし、ω の台が α = rlct(f) において G(X_R, f^α) が非ゼロとなる点と交わる場合、等号が成り立つ。