[論文レビュー] On Realization Theory of Quantum Linear Systems

John Gough, Guofeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純な行列ランク条件の下で可制御性と可観測性が同値であることを証明し、受動的システムの最小実現を導出することで、量子線形システムの実現理論を確立する。最小実現がHurwitz安定であることを示し、損失なし正定値行列関数と関連する独立振動子型およびチェーンモード型の明示的構成を提供する。これにより、最小実現の基数と分数形式の伝達関数表現の計算が可能になる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the realization theory of quantum linear systems. It is shown that for a general quantum linear system its controllability and observability are equivalent and they can be checked by means of a simple matrix rank condition. Based on controllability and observability a specific realization is proposed for general quantum linear systems in which an uncontrollable and unobservable subspace is identified. When restricted to the passive case, it is found that a realization is minimal if and only if it is Hurwitz stable. Computational methods are proposed to find the cardinality of minimal realizations of a quantum linear passive system. It is found that the transfer function of a quantum linear passive system $G$ can be written as a fractional form in terms of a matrix function $Σ$; moreover, $G$ is lossless bounded real if and only if $Σ$ is lossless positive real. A type of realization for multi-input-multi-output quantum linear passive systems is derived, which is closely related to its controllability and observability decomposition. Two realizations, namely the independent-oscillator realization and the chain-mode realization, are proposed for single-input-single-output quantum linear passive systems, and it is shown that under the assumption of minimal realization, the independent-oscillator realization is unique, and these two realizations are related to the lossless positive real matrix function $Σ$.

研究の動機と目的

• 一般量子線形システムの包括的な実現理論の構築を目的とする。
• 行列ランク条件を用いて可制御性と可観測性の同値性を確立すること。
• 一般量子線形システムにおける不可制御および不可観測部分空間の同定。
• Hurwitz安定性を用いて量子線形受動的システムの最小実現を特徴づけること。
• SISOおよびMIMOの場合における最小実現の基数を決定するための計算手法の導出。

提案手法

• 行列ランク条件を用いて不可制御および不可観測部分空間を特定することで、一般量子線形システムの標準的分解を提案する。
• ユニタリ変換を用いてシステム変数を再表現し、明示的なハミルトニアンおよび結合演算子を持つ構造化された実現を可能にする。
• 行列関数Σを用いた伝達関数の分数表現を導出し、システムの性質と行列関数論を結びつける。
• SISO受動的システムに対して、独立振動子型およびチェーンモード型の2つの具体的な実現を導入し、両者とも損失なし正定値行列関数Σに結びつける。
• シュール＝フェシュバッハの公式および直交多項式論を用いて逆行列表現を導出し、ユニタリ変換の妥当性を検証する。
• 受動的システムが損失なし有界実であるための必要十分条件として、関連する行列関数Σが損失なし正定値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般量子線形システムにおいて、可制御性と可観測性が同値となる条件は何か？
• RQ2 量子線形システムにおいて、不可制御および不可観測部分空間を体系的に同定する方法は何か？
• RQ3 量子線形受動的システムにおいて、最小実現とHurwitz安定性の関係は何か？
• RQ4 SISOおよびMIMO量子線形受動的システムの最小実現の基数をどのように計算できるか？
• RQ5 行列関数Σは、損失なし有界実伝達関数を特徴づけるために果たす役割は何か？

主な発見

• 一般量子線形システムにおいて、可制御性と可観測性は同値であり、単純な行列ランク条件を用いて確認可能である。
• 不可制御および不可観測部分空間を明示的に同定する標準的実現が構築され、カルマン分解を量子ドメインに一般化する。
• 量子線形受動的システムにおいて、最小性はHurwitz安定性と同値であり、最小実現の明確な基準を提供する。
• SISOシステムの最小実現の基数は命題3.7で与えられ、MIMOシステムのそれは命題3.8で与えられ、両者ともシステムの固有値特性から導出される。
• 量子線形受動的システムが損失なし有界実であるための必要十分条件は、関連する行列関数Σが損失なし正定値であることである。これは根本的な特徴づけを確立する。
• SISOシステムに対して、独立振動子型およびチェーンモード型の2つの異なる実現が導出され、最小性の下で独立振動子型実現が一意であることが証明されている。