[論文レビュー] On recurrence of reflected random walk on the half-line. With an appendix on results of Martin Benda

Marc Peigné, Wolfgang Woess|ArXiv.org|Dec 12, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、反射の埋め込み過程を分析することにより、半直線上の反射ランダムウォークの再帰的条件を確立する。この埋め込み過程に対して不変測度を導入し、再帰が発生するのは、かつそれが、$∫_0^\infty \mathbb{P}[Y_1 \geq t]^2 dt < \infty$ という2次尾条件を満たす場合に限ることを証明する。この条件は、従来の結果を一般化し、$√[\mathbb{E}[Y_1] = \infty$ である場合にも適用可能である。主な貢献は、非負および符号付きの増分の場合の両方において、再帰のための鋭いモーメント条件を同定することにある。

ABSTRACT

Let $(Y_n)$ be a sequence of i.i.d. real valued random variables. Reflected random walk $(X_n)$ is defined recursively by $X_0=x \ge 0$, $X_{n+1} = |X_n - Y_{n+1}|$. In this note, we study recurrence of this process, extending a previous criterion. This is obtained by determining an invariant measure of the embedded process of reflections.

研究の動機と目的

• 反射ランダムウォークの再帰基準を、$√[\mathbb{E}[Y_1] < \infty$ である古典的状況を超えて拡張すること。
• 反射時における観察のみを対象とする、反射の埋め込み過程（反射時における反射ランダムウォーク）を、不変測度を持つマルコフ連鎖として分析すること。
• 増分分布の尾の挙動に基づいて、再帰の必要十分条件を同定すること。
• 増分が負である可能性がある場合、特に中心化された増分の場合にも結果を一般化すること。
• マーティン・ベンダによる未発表の確率的反復関数系（SFS）および局所的収縮性に関する結果を用いて、厳密な基礎を構築すること。

提案手法

• 初期値 $X_0 \geq 0$ と i.i.d. 増分 $Y_n$ を用いて、$X_{n+1} = |X_n - Y_{n+1}|$ で定義される反射ランダムウォークを定義する。
• 反射の過程 $R_k = X_{\mathbf{r}(k)}$ を導入する。ここで $\mathbf{r}(k)$ は $k$ 番目の反射の時刻を表し、これは $[0, \infty)$ 上のマルコフ連鎖をなす。
• 反射過程の遷移核を導出する：$x > 0$ に対して $q(x, B) = \int_{[0,x)} \mu(B + x - w) \mathcal{U}(dw)$ であり、$√[\mathcal{U} = \sum_{n=0}^\infty \mu^{(n)}$ である。
• 反射過程に有限な不変測度が存在することは、2次尾条件 $∫_0^\infty \mathbb{P}[Y_1 \geq t]^2 dt < \infty$ と同値であることを確立する。
• マーティン・ベンダによる確率的反復関数系（SFS）および局所的収縮性に関する結果を用い、結合された過程のパスごとの収束を分析する。
• 写像 $g_y(x) = |x - y|$ によって生成される半群に定数関数が含まれるならば、SFSは局所的収縮的であり、結合された軌道のパスごとの収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $√[\mathbb{E}[Y_1] = \infty$ の場合、半直線上の反射ランダムウォークが再帰的であるための条件は何か？
• RQ2 2次尾条件 $∫_0^\infty \mathbb{P}[Y_1 \geq t]^2 dt < \infty$ は、埋め込み反射過程の有限不変測度の存在とどのように関係するか？
• RQ3 増分が負である可能性がある場合、特に中心化された場合に、反射ランダムウォークの再帰的挙動はいかなるものか？
• RQ4 確率的反復関数系および局所的収縮性の理論は、反射過程の再帰性を分析するためにどのように利用できるか？
• RQ5 反射過程の不変測度は、元の反射ランダムウォークの再帰性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 反射ランダムウォークが再帰的であることは、2次尾条件 $∫_0^\infty \mathbb{P}[Y_1 \geq t]^2 dt < \infty$ が成り立つことと同値であり、これは埋め込み反射過程に有限不変測度が存在することと同値である。
• もし $Y_n \geq 0$ ほぼ everywhere ならば、再帰は $√[\mathbb{E}[\sqrt{Y_1}] < \infty$ である場合に成立し、これは2次尾条件を含意する。
• 中心化された増分（$√[\mathbb{E}[Y_1^-] = \mathbb{E}[Y_1^+]$）の場合、再帰は $√[\mathbb{E}\bigl[\sqrt{Y_1^+}^3\bigr] < \infty$ の条件下で成立し、これはほとんど鋭い条件であることが示された。
• 反射過程の不変測度は、潜在測度 $√[\mathcal{U} = \sum_{n=0}^\infty \mu^{(n)}$ を用いて構成され、その有限性が再帰性を決定づける。
• 証明は、写像 $x \mapsto |x - y|$ によって生成される確率的反復関数系の局所的収縮性と、これらの写像によって生成される半群に定数関数 $0$ が含まれることに依拠している。
• 元の過程の再帰性は、埋め込み反射過程の再帰性から導かれる。この再帰性は、有限不変測度の存在と結合された軌道のパスごとの収束によって確立される。