[論文レビュー] On recursion operators and nonlocal symmetries of evolution equations

Artur Sergyeyev|ArXiv.org|Dec 7, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、(1+1)次元の発展方程式に対する再帰作用素を、普遍アーベル被覆（UAC）を介して非局所対称性へ拡張し、それらが非局所UAC対称性の空間を保存することを証明する。主な貢献は、再帰作用素が弱く非局所的対称性—保存密度の積分に線形的に依存するもの—に対して一貫して拡張可能であり、その結果得られる対称性が常に同じクラスに留まることを示したことである。これにより、時間に依存する対称性の遺伝的代数がUAC枠組みに埋め込まれる。

ABSTRACT

We consider the recursion operators with nonlocal terms of special form for evolution systems in (1+1) dimensions, and extend them to well-defined operators on the space of nonlocal symmetries associated with the so-called universal Abelian coverings over these systems. The extended recursion operators are shown to leave this space invariant. These results apply, in particular, to the recursion operators of the majority of known today (1+1)-dimensional integrable evolution systems. We also present some related results and describe the extension of them and of the above results to (1+1)-dimensional systems of PDEs transformable into the evolutionary form. Some examples and applications are given.

研究の動機と目的

• 普遍アーベル被覆（UAC）に関連する非局所対称性の空間に、非局所項を含む再帰作用素を一貫的に拡張する。
• 拡張された再帰作用素が非局所UAC対称性の空間を保存する条件を確立する。
• 弱く非局所的UAC対称性に対して、拡張された再帰作用素を繰り返し適用しても、結果として得られる対称性が常に弱く非局所的UAC対称性に留まることを示す。
• 発展系からの結果を、任意の(1+1)次元PDEに、発展形に変換可能なものへ一般化する。
• 時間に依存する対称性の遺伝的代数が、通常は弱く非局所的UAC対称性の集合に含まれることを示す。

提案手法

• 本稿では、Vinogradov らおよび Khor’kova の枠組みを用い、非局所UAC対称性を普遍アーベル被覆上での非局所対称性のシャドウとして定義する。
• 方向微分と非局所変数を用いて、再帰作用素が非局所UAC対称性に作用する方法を定義することで、再帰作用素の拡張を行う。
• 拡張された再帰作用素が、全x微分作用素の不変性と核の特徴付けにより、適切に定義されており、非局所UAC対称性の空間を保存することが示される。
• 非局所UAC関数の代数的構造、特に逆微分作用素 $D^{-1}$ を用いた原始関数と一貫性のある積分定数の取り扱いを用いる。
• 非局所UAC対称性のリー括弧を定義し、それがこの空間上で閉じることを証明することで、空間がリー代数をなすことを保証する。
• 適切な変数変換を用いて、PDEが発展形に変換可能な場合に一般化する。例として、sine-Gordon方程式とHarry Dym方程式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所項を含む再帰作用素は、(1+1)次元の発展系における非局所UAC対称性に一貫して拡張可能か？
• RQ2 拡張された再帰作用素は、非局所UAC対称性の空間を保存するか？
• RQ3 弱く非局所的UAC対称性に対して、拡張された再帰作用素を繰り返し適用しても、結果として得られる対称性が常に弱く非局所的UAC対称性に留まることが保証されるか？
• RQ4 結果は、発展形に変換可能な任意の(1+1)次元PDEに一般化可能か？
• RQ5 時間に依存する対称性の遺伝的代数は、通常、弱く非局所的UAC対称性の集合に含まれるか？

主な発見

• 再帰作用素は、非局所UAC対称性の空間上で適切に定義された作用素に拡張可能であり、空間の構造を保存する。
• 拡張された再帰作用素は、非局所UAC対称性の空間を不変に保つため、作用の整合性が保証される。
• 弱く非局所的UAC対称性（一次の非局所変数に線形に依存するもの）に対して、再帰作用素を繰り返し適用しても、結果として得られる対称性は常に弱く非局所的UAC対称性に留まる。
• 非局所UAC対称性の集合は、標準的なリー括弧に関して閉じており、この空間上でリー代数をなす。
• 可積分系における時間に依存する対称性の遺伝的代数は、弱く非局所的UAC対称性の集合に含まれており、それらの統一的枠組みの構築に貢献する。
• 結果は、発展形に変換可能な任意の(1+1)次元PDEに一般化可能であり、sine-Gordon方程式とHarry Dym方程式を用いて実証されている。