[論文レビュー] On recursive properties of certain p-adic Whittaker functions

Fritz Hörmann|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2010

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、二次形式の表現密度に関連するp進Whittaker関数の再帰的性質を確立し、直交群の判別子核の下での軌道分解を用いて、これらが $ p^{-s} $ に関する多項式であることを示している。主な貢献は、表現密度と安定化部分群の体積を結ぶ一般化された軌道方程式であり、これは高次元の直交Shimura多様体におけるEisenstein級数の特別な微分係数に関するKudlaの予想を支持する。

ABSTRACT

We investigate recursive properties of certain p-adic Whittaker functions (of which representation densities of quadratic forms are special values). The proven relations can be used to compute them explicitly in arbitrary dimensions, provided that enough information about the orbits under the orthogonal group acting on the representations is available. These relations have implications for the first and second special derivatives of the Euler product over all p of these Whittaker functions. These Euler products appear as the main part of the Fourier coefficients of Eisenstein series associated with the Weil representation. In case of signature (m-2,2), we interpret these implications in terms of the theory of Borcherds' products on orthogonal Shimura varieties. This gives some evidence for Kudla's conjectures in higher dimensions.

研究の動機と目的

• $ \mathbb{Z}_p $ 上の二次形式の表現密度に関連するp進Whittaker関数の再帰的性質を調査すること。
• 古典的な再帰公式（例：Kitaokaのもの）を、$ s $ における補間されたWhittaker関数へ一般化すること。この際、双曲平面の拡張を用いる。
• 直交群の判別子核 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ の下での安定化部分群の体積と表現密度を結ぶ構造的軌道方程式を確立すること。
• 任意次元において、$ \mathrm{SO}' $-軌道が与えられたとき、これらの関数を明示的に計算するための枠組みを提供すること。
• 直交Shimura多様体の符号 $ (m-2,2) $ の文脈において、Eisenstein級数の特別な微分係数に関するKudlaの予想を裏付ける証拠を提示すること。

提案手法

• 表現密度 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) $ を、$ \mathbb{Q}_p $ 上の合同写像集合 $ I(M, L)(\mathbb{Q}_p) \cap \kappa $ の、標準的測度に関する体積として定義する。
• 測度の合成の整合性（定理5.2）を用いて、$ \mu_p $ および補間された判別子核体積 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ の再帰的恒等式を導出する。
• 双曲平面の追加により、判別子核 $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $ の体積を $ p^{-s} $ に関する多項式として補間し、$ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ を得る。
• $ \mathrm{SO}' $-軌道が双曲平面の拡張に対して安定することを証明し、再帰的公式が補間関数へも拡張されることを保証する。
• 軌道方程式 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) = \sum_{\text{軌道}} \frac{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}))}{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(\alpha^\perp_{\mathbb{Z}_p}))} $ を適用して、$ \mu_p $ を再帰的に計算する。
• 次元 $ \dim M = 1 $ の場合に公式を検証し、Yangの明示的公式（定理7.2）を特別な場合として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交群の軌道による再帰的分解において、p進Whittaker関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 表現密度 $ \mu_p $ は、$ s \in \mathbb{C} $ における関数へ拡張可能であり、$ p^{-s} $ に関する多項式となるか？
• RQ3 判別子核 $ \mathrm{SO}' $ は、合同写像の軌道を整理する上で果たす役割は何か？
• RQ4 $ \mu_p $ および $ \lambda_p $ の再帰的公式は、Eisenstein級数のフーリエ係数とどのように関係するか？
• RQ5 これらの公式は、高次元におけるEisenstein級数の特別な微分係数に関するKudlaの予想をどの程度支持するか？

主な発見

• 表現密度 $ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) $ は、$ p^{-s} $ に関する多項式であり、$ M $ の次元によって次数が上限を持つ。
• 軌道方程式が成立する：$ \mu_p(L_{\mathbb{Z}_p}, M_{\mathbb{Z}_p}, \kappa; s) = \sum_{\text{軌道}} \frac{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}))}{\mathrm{vol}(\mathrm{SO}'(\alpha^\perp_{\mathbb{Z}_p}))} $、ここで和は $ I(M, L)(\mathbb{Q}_p) \cap \kappa $ 内の $ \mathrm{SO}'(L_{\mathbb{Z}_p}) $-軌道に渡る。
• 補間された体積 $ \lambda_p(L_{\mathbb{Z}_p}; s) $ である判別子核の体積は、$ p^{-s} $ に関する多項式であり、双曲平面の拡張を用いて明示的に計算可能である。
• 次元 $ \dim M = 1 $ の場合、p進Whittaker関数は $ I(M, L)(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}) $ の個数を数えることで計算され、これにより格子のゼータ関数と関連づけられる（補題7.3）。
• 導出された公式は、$ \dim M = 1 $ の場合にYangの明示的公式を回復し、先行研究と整合性を確認する。
• $ s = 0 $ における軌道方程式の構造は、直交Shimura多様体上の特別なサイクルが部分Shimura多様体に分解されることを反映しており、Kudlaの予想を支持する。