[論文レビュー] On reducibility of Quantum Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^d$ with quasiperiodic in time potential

Éric Paturel, Benoît Grébert|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 15被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^d$ 上の線形シュレーディンガー方程式が調和振動子ポテンシャルと時間に周期的でない小刻みの周期的摂動を持つ場合の還元可能性を確立する。無限次元KAM理論を用いて、ほとんどの周波数ベクトル$ω$に対して、系が自己同型ハミルトニアン系に還元されることを証明し、すべての解がほぼ周期的であり、すべてのソボレフノルムで一様に有界であることを示す。

ABSTRACT

We prove that a linear d-dimensional Schr{ö}dinger equation on $\mathbb{R}^d$ with harmonic potential $|x|^2$ and small t-quasiperiodic potential $i\partial\_t u -- Δu + |x|^2 u + εV (tω, x)u = 0, x \in \mathbb{R}^d$ reduces to an autonomous system for most values of the frequency vector $ω\in \mathbb{R}^n$. As a consequence any solution of such a linear PDE is almost periodic in time and remains bounded in all Sobolev norms.

研究の動機と目的

• $ℝ^d$ 上の調和振動子と時間に周期的でない小刻みの周期的摂動を持つ線形シュレーディンガー方程式の還元可能性を確立すること。
• 有限次元KAM還元可能性の結果を、量子調和振動子に従う無限次元系へ拡張すること。
• 周波数ベクトル$ω$ の全測度集合に対して、系が自己同型系に還元されることを示し、解の長期間にわたる安定性を保証すること。
• すべての解がすべてのソボレフノルムで有界であり、時間に関してほぼ周期的であることを証明すること。

提案手法

• 時間に周期的でないポテンシャル$V(\omega t, x)$ を持つ、$L^2(\mathbb{R}^d)$ 上の線形非自励系として問題を定式化し、時間に関して解析的かつ空間に関して$s > d/2$ に対して$\mathcal{H}^s$ に属する。
• 解をヘルミート基底$\{\Phi_{j,l}\}$ で表現し、演算子$T = -\Delta + |x|^2$ の固有値$w_a = j$ を固有空間$[a]$ 上で得る。ここで、次元$d_j \leq j^{d-1}$ である。
• 非共鳴条件を満たす周波数$ω$ に依存する無限次元KAM理論を適用し、時間依存系を自己同型系に共役化する準周期的変換を構成する。
• ブロック対角化を用いて同調方程式を解き、スペクトルギャップ推定と$w_a$ における減衰を用いて線形化演算子の逆演算子の推定を行う。
• パラメータ依存の正規形を用いた反復的KAMステップを実行し、ヘルミート係数における重み付き$\ell^2_s$ ノルムを用いて変換の成長を制御する。
• 測度論的議論を用いて、還元可能性が成り立つ$ω$ の集合が$ℝ^n$ において漸近的に全測度を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^d$ 上の調和振動子と小刻みの周期的でないポテンシャルを持つ線形シュレーディンガー方程式は、ほとんどの周波数ベクトルに対して自己同型系に還元可能か？
• RQ2 周波数ベクトル$ω$ とポテンシャル$V$ にどのような条件が、無限次元における系の還元可能性を保証するか？
• RQ3 還元可能性は、このような系においてすべてのソボレフノルムで解が一様に有界であることを示唆するか？
• RQ4 KAM法は、有限次元系から、量子調和振動子の無限次元設定へどのように拡張可能か？

主な発見

• 周波数ベクトル$ω$ の全測度集合に対して、準周期的ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式は、準周期的変換によって自己同型系に還元可能である。
• この系のすべての解は時間に関してほぼ周期的であり、すべてのソボレフノルム$H^s$（$s \geq 0$）で有界のままである。
• $V \in \mathcal{H}^s$ かつ$s > d/2$ であり、時間変数$\varphi \in \mathbb{T}^n$ に関して実解析的である限り、還元可能性が成立する。
• 同調方程式における線形化演算子の逆演算子は$C / (1 + |w_a - w_b|)$ で有界であり、KAM反復の収束を保証する。
• 還元可能性が成り立つ非共鳴$ω$ ベクトルの集合のサイズは、$ℝ^n$ において漸近的に全測度に近づく。
• 本手法により、変換と剰余項のノルムに対する明示的評価が得られ、$w_a^{-\delta}$（$\delta > 0$）の減衰に従って制御される。