[論文レビュー] On reduction theory and Brown measure for closed unbounded operators

Ken Dykema, Joseph Noles+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、因子の直積分であるvon Neumann代数に affiliated した、閉かつ稠密に定義された有界でない作用素のブラウン測度が、その代数が因子の直積分である場合、その繊維作用素のブラウン測度の直積分に分解されることを確立する。主な結果は、このような作用素のスペクトル分布が還元理論の構造を尊重することを示しており、Fuglede–Kadison行列式とブラウン測度の性質を可測場の分解を用いて、有界でない設定へと拡張している。

ABSTRACT

The theory of direct integral decompositions of both bounded and unbounded operators is further developed; in particular, results about spectral projections, functional calculus and affiliation to von Neumann algebras are proved. For operators belonging to or affiliated to a tracial von Neumann algebra that is a direct integral von Neumann algebra, the Brown measure is shown to be given by the corresponding integral of Brown measures.

研究の動機と目的

• トレース的von Neumann代数に affiliated した有界でない作用素へ還元理論を拡張すること。
• このような作用素のブラウン測度が直積分分解において良好に振る舞うことを確立すること。
• 分解可能な有界でない作用素のブラウン測度が、その繊維作用素のブラウン測度の積分に等しいことを証明すること。
• 直積分von Neumann代数における有界でない作用素の関数計算および所属関係理論を提供すること。
• 有限von Neumann代数におけるスペクトル分布に関する結果を有界でない作用素へ一般化すること。

提案手法

• σ-有限測度を持つ標準的ボレル空間上のトレース的von Neumann代数の直積分分解を用いる。
• 可測なヒルベルト空間の場と有界作用素の場を用いて、代数およびその元を表現する。
• スペクトル理論を用いて、分解可能な有界でない自己共役作用素の関数計算を開発する。
• 直積分枠組みにおける有界でない作用素の極分解および所属関係の性質を確立する。
• 対数的ポテンシャルを用いた特徴付けを通じて、Fuglede–Kadison行列式およびブラウン測度を適用する。
• 滑らかな関数による近似と分布的意味でのラプラシアンを用いて、ブラウン測度を定義および分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース的von Neumann代数に affiliated した閉作用素のブラウン測度は、直積分分解においてどのように振る舞うか。
• RQ2 分解可能な作用素のブラウン測度は、その繊維作用素のブラウン測度の積分として回復可能か。
• RQ3 Fuglede–Kadison行列式およびブラウン測度理論は、直積分von Neumann代数における有界でない作用素へ拡張可能か。
• RQ4 直積分設定における有界でない作用素の関数計算および極分解の性質は何か。
• RQ5 直積分作用素のブラウン測度は、複素平面における対数的ポテンシャルの積分によって一意に特徴付けられるか。

主な発見

• 任意のボレル集合 B ⊆ ℂ に対して、T ∈ exp(L¹)(M,τ) のブラウン測度 ν_T は ν_T(B) = ∫_Z ν_{T(ζ)}(B) dω(ζ) に分解される。
• ブラウン測度は、∫_ℂ log⁺|z| dν_T(z) < ∞ かつすべての λ ∈ ℂ に対して ∫_ℂ log|z−λ| dν_T(z) = logΔ_τ(T−λ) を満たす唯一の確率測度である。
• 直積分分解はFuglede–Kadison行列式を保存し、Δ_τ(T−λ) = ∫_Z Δ_{τ_ζ}(T(ζ)−λ) dω(ζ) が成り立つ。
• ブラウン測度は、滑らかなテスト関数および分布的意味でのラプラシアンを用いて構成された近似測度の弱収束極限として得られる。
• 証明は、log⁺|z| および log|z−λ| を近似する単純関数の増加列に単調収束定理を適用することに依存する。
• 各 λ に対して、ζ ↦ τ_ζ(log|T(ζ)−λ|) は可測であり、これにより繊維空間全体にわたるスペクトルデータの積分可能性が保証される。