[論文レビュー] On Redundancy in Constraint Satisfaction Problems

Carbonnel, Clément|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

semigroups and automata theory参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、符号対称制約充足問題（CSP）の複雑さを分類するための部分的多相性—pSDI-作用素—の階層を導入する。k-ユニバーサル作用素によって保存される言語は、ミートインザミドルや行列乗算を用いた改善されたアルゴリズムを有するが、いかなるpSDI-作用素によっても保存されない言語はSETH-hardである。主な貢献は、代数的不変量と微細複雑度の間の構造的特徴付けであり、SETHに基づくタイトな上界と下界を示している。

ABSTRACT

A constraint language Γ has non-redundancy f(n) if every instance of CSP(Γ) with n variables contains at most f(n) non-redundant constraints. If Γ has maximum arity r then it has non-redundancy O(n^r), but there are notable examples for which this upper bound is far from the best possible. In general, the non-redundancy of constraint languages is poorly understood and little is known beyond the trivial bounds Ω(n) and O(n^r). In this paper, we introduce an elementary algebraic framework dedicated to the analysis of the non-redundancy of constraint languages. This framework relates redundancy-preserving reductions between constraint languages to closure operators known as pattern partial polymorphisms, which can be interpreted as generic mechanisms to generate redundant constraints in CSP instances. We illustrate the power of this framework by deriving a simple characterisation of all languages of arity r having non-redundancy Θ(n^r).

研究の動機と目的

• 無限の制約言語Γに対して、SAT(Γ)が指数的改善されたアルゴリズム（つまり、c(Γ) < 2）を有する条件を特定すること。
• 特に部分的多相性—具体的にはpSDI-作用素—がCSPの微細複雑度を決定する役割を理解すること。
• 二分法の予想を確立すること：SAT(Γ)に改善されたアルゴリズムが存在するのは、Γが非自明なpSDI-作用素によって保存されるときである。
• 強い指数時間仮説（SETH）の下で、SAT(Γ)の実行時間に対する上界と下界を確立すること。

提案手法

• pSDI-作用素の導入：制約言語Γを保存する部分的、自己双対的、およびイデムポテンである作用素。
• pSDI-作用素の階層をk ≥ 2のレベルに分類し、各レベルで最も表現力のあるk-ユニバーサル作用素ukを定義。
• 不変量（Inv(p)）の代数的概念を用いて、各pに対して制約言語Γ = Inv(p)を定義し、多相性の閉包とアルゴリズムの tractability を結びつける。
• 既知のアルゴリズム技法（例：ミートインザミドル、高速行列乗算）を、特定のpSDI-作用素によって保存される言語に適用。
• パディング構成を用いて下界を証明し、Γ = Inv(p)のSAT(Γ)が、SETHが成り立たない限りO*(cₙᵏ)未満で解けないことを示す。
• SETHに基づく下界フレームワークを用いて、階層内の各レベルkにおけるタイトな複雑度境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの制約言語Γに対して、SAT(Γ)がO*(cⁿ)（c < 2）の実行時間で改善されたアルゴリズムを有するか？
• RQ2 部分的多相性—特にpSDI-作用素—が、このような改善されたアルゴリズムの存在を決定する役割は何か？
• RQ3 1つの非自明なpSDI-作用素の存在が、改善されたアルゴリズムを保証できるか？もしそうなら、どのような条件下でか？
• RQ4 代数的不変量に基づいて、SETH-hardと効率的に解けるSAT(Γ)問題の完全な二分法が存在するか？
• RQ5 多項式制約（例：有界次数の多変数多項式）に対する改善アルゴリズムは、他のpSDI-作用素へ一般化可能か？

主な発見

• 部分的2エッジ作用素によって保存される言語は、サブセットサムに類似したミートインザミドル戦略により解ける。
• 部分的3-NU作用素によって保存される言語は、高速行列乗算を用いたアルゴリズムを有し、改善された実行時間を得る。
• k-ユニバーサル作用素ukは、レベルkにおける最も難しいクラスを特徴づける；Γがいかなるkに対してもukによって保存されない場合、SAT(Γ)はSETH-hardである。
• 各レベルkに対して、定数ckが存在し、Γ = Inv(p)（pがレベルkに属する）のSAT(Γ)は、SETHが成り立たない限りO*(cₙᵏ)未満で解けない。
• 有界次数の多変数多項式の根として定義される制約のクラスは、k-ユニバーサル作用素によって記述され、Lokshtanovらの手法を用いて改善されたアルゴリズムを有する。
• 本稿は、SAT(Γ)が改善されたアルゴリズムを有するのは、ある定数kに対してΓがukによって保存されるとき、かつそのときに限る、と予想しているが、これは未解決のままである。