[論文レビュー] On Reeb graphs induced from smooth functions on $3$-dimensional closed manifolds with finitely many singular values II

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 11被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、以前のリーブグラフに関する研究を拡張し、3次元閉多様体（非可定向を含む）上で滑らかな関数を構成することで、任意の指定された有限グラフとその前像型を実現するリーブグラフを構築する。この手法は、非可定向な設定へのモース＝ボット理論の一般化であり、任意の有限グラフが適切な3次元多様体上での滑らかな関数のリーブグラフとして実現可能であることを証明する。

ABSTRACT

The Reeb space of a smooth function is a topological and combinatoric object and fundamental and important in understanding topological and geometric properties of the manifold of the domain. It is the graph and a topological space endowed with a natural topology. This is defined as the quotient space of the domain where the equivalence relation is as follows: two points in the domain is equivalent if and only if they are in a same connected component of a level set or a preimage. In considerable cases they are graphs (Reeb graphs): if the function is a so-called Morse(-Bott) functions and so on, then this is the graph such that a point is a vertex if and only if the corresponding connected component of the level set contains some singular points. The author previously constructed smooth functions on suitable $3$-dimensional connected, closed and orientable manifolds whose Reeb graphs are isomorphic to prescribed graphs and whose preimages are as prescribed types. This gives a new answer to so-called realization problems of graphs as Reeb graphs of smooth functions of suitable classes. The present paper concerns an extension in the case where the $3$-dimensional manifolds may not be non-orientable.

研究の動機と目的

• 有限グラフを3次元閉、非可定向多様体上でリーブグラフとして実現することの一般化。
• 非可定向3次元多様体上で、指定された有限グラフと一致するリーブグラフを持つ滑らかな関数を構築する課題に対処すること。
• 以前の可定向多様体に関する結果を非可定向の場合にまで拡張し、実現問題の範囲を広げること。
• 関数の前像が指定された位相的型となるように保証し、レベル集合の構造を制御すること。

提案手法

• 関数のレベル集合の同一連結成分を同一視する同値関係による、定義域の商空間としてのリーブ空間の構成を用いる。
• 3次元多様体上での有限個の特異値を持つ関数を扱うために、モース＝ボット理論の技術を適用する。
• 与えられた有限グラフと同型なリーブグラフを持つように、3次元閉多様体（非可定向を含む）上に滑らかな関数を構成する。
• 関数の前像が指定された位相的型に対応することを保証し、レベル集合の構造を制御する。
• リーブ空間が、特異点を含む連結成分に対応する頂点を持つ有限グラフであることを、位相的および組合せ的議論により検証する。
• リーブ空間上の自然な商位相に依存し、グラフ構造がwell-definedであり、多様体の位相と整合的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限グラフは、3次元閉非可定向多様体上での滑らかな関数のリーブグラフとして実現可能か？
• RQ2 このような関数の前像を、指定された位相的型にどのように制御できるか？
• RQ3 可定向から非可定向3次元多様体へのリーブグラフ実現を拡張する際に、どのような位相的障害が生じるか？
• RQ4 非可定向性の存在が、リーブ空間の構造および関数の特異点にどのように影響するか？
• RQ5 モース＝ボット型の技術を、非可定向多様体にどの程度まで適応可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の与えられた有限グラフと同型なリーブグラフを持つ、3次元閉非可定向多様体上での滑らかな関数を構築する。
• 構成法により、関数の前像が指定された位相的型となることが保証され、レベル集合の構造が制御可能である。
• リーブ空間が有限グラフであることが示され、頂点は特異点を含むレベル集合の連結成分に対応する。
• 本手法により、可定向多様体から非可定向多様体への既存の結果の拡張が成功し、より広いクラスにおける実現問題が解決された。
• リーブ空間上の自然な商位相により、グラフ構造がwell-definedであり、多様体の位相と整合的であることが保証された。
• 結果は、多様体の位相的複雑さが、任意の有限グラフをリーブグラフとして実現することを妨げないことを示している。