[論文レビュー] On regularity of complex Monge-Ampere equation

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界領域における複素 Monge-Ampère 方程式の解について、複素ラプラシアン $\triangle u$ に対して $L^p$ 範囲が $p > n^2$ であると仮定したもとで、内部 $C^2$ 評価を確立し、$\mathbb{C}^n$ における $\det(u_{i\bar j}) = 1$ の一般化および可視解を生成する Pogorelov 型の具体例を構成することで、正則性のための $L^p$ 統合性閾値の鋭さを示している。

ABSTRACT

We shall consider the regularity problem of solutions for complex Monge-Ampere equations. First we prove interior $C^2$ estimates of solutions in a bounded domain for complex Monge-Ampere equation with assumption of certain $L^p$ bound for Laplacian u, and of Lipschitz condition on right hand side. Then we shall construct a family of Pogorelov-type examples for complex Monge-Ampere equation. These examples give generalized entire solutions (as well as viscosity solutions) of complex Monge-Ampere equation $\det(u_{i\bar j})=1.

研究の動機と目的

• 複素 Monge-Ampère 方程式の解について、$p > n^2$ のもとで複素ラプラシアン $\triangle u$ に対する $L^p$ 範囲を仮定した内部 $C^2$ 評価を確立すること。
• $p > n^2$ の $L^p$ 閾値が $C^2$ 正則性のための鋭さを、反例の構成によって示すこと。
• $\mathbb{C}^n$ における $\det(u_{i\bar j}) = 1$ の一般化および可視解を Pogorelov 型の例を用いて構成すること。
• $p \leq n^2$ のとき、$C^2$ 評価が滑らかな右辺に対しても失敗することを明確にすること。
• $\mathbb{C}^n$ において、構成された解が $W^{2,p}_{\text{loc}}$ および $C^{\alpha}_{\text{loc}}$（$\alpha = 2/n$）に属するが、それ以上の正則性を持たないことを示すこと。

提案手法

• Ivochkina および Schulz のインスパイアを受けて積分的アプローチを用いて内部 $C^2$ 評価を証明し、$\|\triangle u\|_{L^p(\Omega)} < \infty$ かつ $p > n^2$ を仮定する。
• $\mathbb{C}^n$ における Pogorelov 型の例の族を $u^\epsilon = (1 + \sum |z_i|^2)(|w|^2 + \epsilon)^{1/n}$ の形で構成し、$\epsilon \to 0$ のときの極限関数に収束することを示す。
• 極限関数 $u^0 = (1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n}$ が、一般化（Bedford-Taylor）および可視的意味で $\det(u_{i\bar j}) = 1$ を満たすことを示す。
• コンパクト集合上で $C^{\alpha}$ および $W^{2,p}$ ノルムの収束を用いて、$F \to 1$ が $L^\infty$ で成り立つとき、極限が一般化解であることを検証する。
• 点 $|w| = 0$ におけるサブ・およびスーパージェットのテストにより、可視解の性質を検証し、$u - v$ がその点で局所的最大値をとるような $C^2$ 関数が存在しないことを示す。
• 構成された解が $\alpha > 2/n$ に対して $C^{2,\alpha}$ でないことを示し、正則性閾値の鋭さを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素 Monge-Ampère 方程式の内部 $C^2$ 評価を保証するための $\triangle u$ の最適な $L^p$ 統合性条件は何か？
• RQ2 複素 Monge-Ampère 方程式に対して、$C^2$ 正則性の失敗を示すために Pogorelov 型の例を構成できるか？ その際の $L^p$ 閾値は何か？
• RQ3 Pogorelov 型の極限によって構成された一般化解は可視解か？
• RQ4 一般化解 $u^0 = (1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n}$ の $\mathbb{C}^n$ における正確な Hölder 正則性は何か？
• RQ5 $p \leq n^2$ のとき、右辺が滑らかであっても $C^2$ 評価が失敗するのか？

主な発見

• 有界領域 $\Omega$ における $\log\det(u_{i\bar j}) = F$ の解について、$\|\triangle u\|_{L^p(\Omega)} < \infty$ かつ $p > n^2$ であれば、内部 $C^2$ 評価が成り立つ。評価の定数は $\Lambda = \|F\|_{C^1}$、$\Omega$、$\Omega' \subset\subset \Omega$、$p$、および $n$ に依存する。
• $L^p$ 閾値 $p > n^2$ は鋭い：$p \leq n^2$ のとき、$C^2$ 評価は失敗する。これは Pogorelov 型の例によって示された。
• $\mathbb{C}^n$ において、一般化解 $v(z) = n^{2/n}(1 + \sum_{i=1}^{n-1} |z_i|^2)|z_n|^{2/n}$ は Bedford-Taylor 意味で $\det(u_{i\bar j}) = 1$ を満たす。
• サ Singular 集合 $|z_n| = 0$ におけるサブ・およびスーパージェットのテストにより、$v$ が可視解であることが確認された。その点で、$u - v$ が局所的最大値をとるような $C^2$ 関数は存在しない。
• $v$ はすべての $p < n$ に対して $W^{2,p}_{\text{loc}}(\mathbb{C}^n)$ に属し、$\alpha = 2/n$ に対して $C^{\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{C}^n)$ に属するが、$\alpha > 2/n$ に対しては属さない。これは Hölder 正則性の鋭さを確認する。
• この構成は $\mathbb{C}^{n+1}$ に一般化可能であり、$\det(u_{i\bar j}) = 1/(n+1)^2$ を満たす解を同様の正則性および可解性特性で得られる。