[論文レビュー] On representations of Higher Spin symmetry algebras for mixed-symmetry HS fields on AdS-spaces. Lagrangian formulation

Č. Burdík, Alexander A. Reshetnyak|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$d$次元の反ド・ジッター（AdS）空間上における、混合対称性ヤン・テーブルックス $(s_1,s_2)$ を持つ自由ボソン的高スピン（HS）場について、補助表現の構築と変形された非線形HS対称性代数を介して、ラグランジアン形式を展開する。Vermaモジュールを用いて $sp(2k)$ の振動子実現をAdSに一般化し、第一種制約系とBFV-BRST手続きによるゲージ不変かつ制約なしのラグランジアンを実現する。$k=2$ ヤン・テーブルックスに対して明示的な結果が得られる。

ABSTRACT

We derive non-linear commutator HS symmetry algebra, which encode unitary irreducible representations of AdS group subject to Young tableaux $Y(s_1,...,s_k)$ with $k\geq 2$ rows on $d$-dimensional anti-de-Sitter space. Auxiliary representations for specially deformed non-linear HS symmetry algebra in terms of generalized Verma module in order to additively convert a subsystem of second-class constraints in the HS symmetry algebra into one with first-class constraints are found explicitly for the case of HS fields for $k=2$ Young tableaux. The oscillator realization over Heisenberg algebra for obtained Verma module is constructed. The results generalize the method of auxiliary representations construction for symplectic $sp(2k)$ algebra used for mixed-symmetry HS fields on a flat spaces and can be extended on a case of arbitrary HS fields in AdS-space. Gauge-invariant unconstrained reducible Lagrangian formulation for free bosonic HS fields with generalized spin $(s_1,s_2)$ is derived.

研究の動機と目的

• AdS空間上における混合対称性テンソル場を有する自由ボソン的高スピン場のゲージ不変かつ制約なしのラグランジアン形式を構築すること。
• 平坦空間で用いられる $sp(2k)$ 対称性の振動子実現を、特に $k=2$ ヤン・テーブルックスに対して、AdSにおける非線形HS代数へ一般化すること。
• 補助表現を一般化されたVermaモジュールを用いて構築し、HS対称性代数における第二種制約を第一種制約に変換すること。
• BFV-BRST手続きを非線形代数にまで拡張し、高スピン場の整合的な量子化フレームワークを確立すること。
• 任意の混合対称性HS場に対して、AdS空間上でのラグランジアンを体系的に構築する手法を提供し、完全対称場に対する既存の結果を一般化すること。

提案手法

• ヤン・テーブルックス $Y(s_1,𝑛,s_k)$ を用いて、$k\geq2$ の場合にユニタリ的不可約表現を符号化する非線形交換関係HS対称性代数を導出する。
• 一般化されたVermaモジュールを用いて補助表現を導入し、変形されたHS代数における第二種制約を第一種制約に変換する。
• 得られたVermaモジュール上でヘイゼンベルク代数上に振動子実現を構築し、平坦空間で用いられる $sp(2k)$ フレームワークをAdSへ一般化する。
• BFV-BRST手続きを4段階で適用する：(1) 補助フォック空間における制約を定義し、(2) より大きなフォック空間上で第一種制約に代数を変形し、(3) ハミルトニアン的でかつノルム保存なニルポテンスなBRST演算子 $Q'$ を構成し、(4) ラグランジアンを $\mathcal{L} \sim \langle \phi | Q | \phi \rangle$ の形で構築する。
• $o_{I}$-および $O_{I}$-順序付け技術を用い、ジャコビ恒等式を解き、変形代数の構造関数 $F_{IJ}^{(m)K}({o}^\prime, {O})$ を決定する。
• 変形代数 $\mathcal{A}_c$ が $o^\prime_{I}$-依存項を有することにより、非線形的かつ非斉次的であることが示され、パrameter $r$ を通じてAdS曲率と整合的であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形構造を有するHS対称性代数を有する混合対称性高スピン場に対して、AdS空間上での第一種制約系をどのように構築できるか。
• RQ2 $k=2$ ヤン・テーブルックスに対して、第二種制約を第一種制約に変換可能にする一般化されたVermaモジュールの明示的形は何か。
• RQ3 $sp(2k)$ 代数の振動子実現を、ユニタリ表現を保ちつつAdSにおける非線形HS代数へどのように拡張できるか。
• RQ4 変形HS代数 $\mathcal{A}_c$ の構造は何か。その構造関数 $F_{IJ}^{(m)K}$ はAdS半径パrameter $r$ にどのように依存するか。
• RQ5 Fronsdal形式における一般化スピン $(s_1,s_2)$ を持つ自由混合対称性HS場に対して、ゲージ不変かつ制約なしのラグランジアン形式を導出可能か。

主な発見

• $k=2$ ヤン・テーブルックスを有する混合対称性場のユニタリ的不可約表現を符号化する非線形交換関係HS対称性代数が導出された。
• 第二種制約を変形されたHS代数内での第一種制約に変換可能な、明示的な補助表現が一般化されたVermaモジュールを用いて構築された。
• Vermaモジュール上でヘイゼンベルク代数上に明示的な振動子実現が構築され、平坦空間における $sp(2k)$ フレームワークがAdSへ一般化された。
• 得られたラグランジアン形式はゲージ不変かつ制約なしであり、方程式の運動は $\mathcal{L} \sim \langle \phi | Q | \phi \rangle$ を通じて元の制約を再現する。
• 変形代数 $\mathcal{A}_c$ における構造関数 $F_{IJ}^{(m)K}({o}^\prime, {O})$ は $o^\prime_{I}$-依存性により非斉次的であることが示され、AdS HS代数の非線形性を反映している。
• 本手法は $k \geq 2$ の任意のヤン・テーブルックスへ一般化可能であり、AdS空間上におけるすべての混合対称性HS場のラグランジアン形式を体系的に構築する道筋を提供する。