[論文レビュー] On Representations of Toroidal Lie Algebras

S. Eswara Rao|ArXiv.org|Mar 28, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限次元の重み空間をもつ可解モジュラーを有するトロイダルリーモジュラー代数の表現について包括的な解説を提供する。このようなモジュラーがアフィンリーモジュラー代数の評価モジュラーのテンソル積として記述可能であり、そのキャラクターはアフィンキャラクターの積となることが示され、さらにローレンス多項式環の導来代数との半直積により一般化されたバージョンのヴァイラソロ代数的構造が導入される。

ABSTRACT

This is an expository article on representation theory of toroidal Lie algebras. We summerize all the results on representation theory of toroidal Lie algebras obtained in the last fifteen years. Apart from that a natural genaralization of Virasoro Lie algebra is introduced and the related results are stated. A genaralization of the semi direct product of affine Lie algebra and Virasoro Lie algebra is introduced which we call the full toroidal Lie algebra. The connection to the theory of Extended Affine Lie Algebras is explained.

研究の動機と目的

• トロイダルリーモジュラー代数の有限次元重み空間をもつ表現に関する最近の結果を統一的に解説すること。
• n ≥ 2 に対して、トロイダルリーモジュラー代数の普遍中心拡大の構造を明確にすること、これは無限次元である。
• 導来代数 $ \text{Der}A $ がトロイダルリーモジュラー代数を拡大する役割を果たし、頂点演算子の構成とどのように相互作用するかを調査すること。
• 特に $ \mathcal{G} $-作用が非自明な場合に、拡大代数 $ \widehat{\tau} $ の明示的モジュラーの構成という未解決問題に取り組むこと。
• トロイダルリーモジュラー代数と拡張アフィンリーモジュラー代数（EALA）との関係を探索し、より広いEALA枠組みにおける可解モジュラーの分類計画を提案すること。

提案手法

• トロイダルリーモジュラー代数 $ \tau = \mathcal{G} \otimes A \oplus \Omega_A / d_A $ を定義する。ここで $ A = \mathbb{C}[t_1^{\pm1}, \dots, t_n^{\pm1}] $ であり、$ \mathcal{G} \otimes A $ の普遍中心拡大を用いる。
• 頂点演算子代数とフォック空間の構成を用いてトロイダルリーモジュラー代数を実現し、アフィンリーモジュラー代数の Sugawara 建設を一般化する。
• 半直積 $ \widehat{\tau} = \tau \rtimes \text{Der}A $ を導入し、$ \text{Der}A $ が導出作用素 $ D(u,r) $ を通じて作用するように定義し、テンソル積モジュラーへの作用を定義する。
• Weyl–Kac キャラクター公式を適用し、可解モジュラー上のゼロ次元中心作用素の比の有理性を分析する。
• 非自明な $ \mathcal{G} $-モジュラー $ W $ と最高重量モジュラー $ V(\psi,b) $ を用いて、可解モジュラーを $ W \otimes V(\psi,b) \otimes A $ の形で構成する。
• 中心がスカラー的でないことが確立され、有限次元重み空間をもつ可解モジュラーが存在するためには、中心の特定の商のみが許容されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元重み空間をもつトロイダルリーモジュラー代数の可解モジュラーの構造はどのように特定されるか？
• RQ2 トロイダル代数の無限次元中心が、このようなモジュラーの存在と分類にどのように影響を与えるか？
• RQ3 導来代数 $ \text{Der}A $ は、可解性と有限次元重み空間の性質を保ちつつ、トロイダル代数に一貫して作用させることができるか？
• RQ4 頂点演算子代数は拡大代数 $ \widehat{\tau} $ をどのように実現するか？また、この構成は Sugawara 建設をどのように一般化するか？
• RQ5 可解モジュラーの分類は、拡張アフィンリーモジュラー代数（EALA）のより広いクラスへどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 有限次元重み空間をもつトロイダルリーモジュラー代数の可解モジュラーは、アフィンリーモジュラー代数の評価モジュラーのテンソル積と同型である。
• このようなモジュラーのキャラクターはアフィンキャラクターの積であり、この設定において表現論はアフィンの場合より豊かではないことを示唆する。
• 有限次元重み空間をもつ任意の可解モジュラーにおいて、ゼロ次元中心作用素の比は有理数である。これは重要な構造的制約である。
• n ≥ 2 に対して、トロイダル代数の普遍中心拡大は無限次元であり、アフィンの場合の1次元中心とは対照的である。
• 半直積 $ \widehat{\tau} = \tau \rtimes \text{Der}A $ は自然な拡大であり、中心が自明で $ \mathcal{G} $-作用が非自明な $ \widehat{\tau} $ の可解モジュラーは、$ W \otimes V(\psi,b) \otimes A $ の形で記述可能である。
• 導来代数 $ \text{Der}A $ は非自明な中心拡大をもたないが、トロイダル代数の中心と一致するアーベル拡大を生成し、一貫した半直積構造をもたらす。