[論文レビュー] On representing and hedging claims for coherent risk measures

Saul Jacka, Seb Armstrong+1 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Mar 10, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散時間のフィルトレーションに適応した $L^{∞}$ 内の凸錐の有限和の弱∗-閉包の二重特徴付けを確立し、整合的リスク測度における $\mathbf{V}$-m-安定性の概念を導入する。$\mathbf{V}$-m-安定性が動的リスク管理における時不変性と同値であることを証明し、多資産ポートフォリオにおける最適準備金およびヘッジ戦略の理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

We provide a dual characterisation of the weak$^*$-closure of a finite sum of cones in $L^\infty$ adapted to a discrete time filtration $\mathcal{F}_t$: the $t^{th}$ cone in the sum contains bounded random variables that are $\mathcal{F}_t$-measurable. Hence we obtain a generalisation of Delbaen's m-stability condition for the problem of reserving in a collection of numéraires $\mathbf{V}$, called $\mathbf{V}$-m-stability, provided these cones arise from acceptance sets of a dynamic coherent measure of risk. We also prove that $\mathbf{V}$-m-stability is equivalent to time-consistency when reserving in portfolios of $\mathbf{V}$, which is of particular interest to insurers.

研究の動機と目的

• 各錐が $\mathcal{F}_t$-可測な有界確率変数からなる $L^{∞}$ 内の錐の有限和の弱∗-閉包を特徴付けること。
• 複数のナマライア $\mathbf{V}$ の文脈に一般化された Delbaen の m-安定性条件を導入し、動的整合的リスク測度における $\mathbf{V}$-m-安定性を定義すること。
• 動的リスク測定およびヘッジの文脈において、$\mathbf{V}$-m-安定性と時不変性の同値性を確立すること。
• $L^{∞}$ 上の弱∗位相と双対定理を用いて、予測可能に表現可能なクレームの双対枠組みを提供すること。
• $\mathbf{V}$ 資産のポートフォリオにおいて、自己財務調整戦略を介してヘッジ可能である条件を形式化し、各時刻でリスク受容性を保証すること。

提案手法

• $L^{∞}$ 上の弱∗位相 $\sigma(L^{∞}, L^1)$ を用い、双対空間を $L^1$ と特定し、$\mathbb{Q}$-絶対連続確率測度上の本質的上限を用いた整合的リスク測度の表現を可能にする。
• Fatou性質を適用して双対最適化子を $L^1$-可積分密度に制限し、条件付きリスク測度を $\rho_t(X) = \operatorname*{ess\,sup}_{\mathbb{Q} \in \mathcal{Q}_t} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X|\mathcal{F}_t]$ として表現すること。
• 自己財務調整戦略による $\mathbf{V}$-名義の資産における予測可能に表現可能なクレームの概念を導入し、各時刻 $t$ で $\rho_t((Y_{t+1} - Y_t) \cdot \mathbf{V}) \leq 0$ を要件とする。
• $\mathcal{A}_t(\mathbf{V})$ を時刻 $t$ で $\mathbf{V}$-ポートフォリオとして受容可能な集合と定義し、$\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ とその極錐 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ の間に双対性を確立する。
• Fenchel-Moreau 双対定理と双対定理を用いて、$\mathcal{B}^{**} = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{B})}^{w^*}$ の同値性を導出し、予測可能性と安定性を結びつける。
• $\mathbf{V}$-m-安定性が成立するための必要十分条件として、双対錐 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ が予測可能に安定であること、すなわち $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*) = \cap_{s=t}^{T-1} \mathcal{M}_s(\mathcal{B}^*)$ を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、動的かつ時不変的に $\mathbf{V}$ 資産のポートフォリオを用いてクレームを予測可能に表現できるか？
• RQ2 錐の和の弱∗-閉包の双対的特徴付けは、整合的リスク測度における m-安定性条件とどのように関係するか？
• RQ3 動的リスク管理における $\mathbf{V}$-m-安定性と時不変性の正確な関係は何か？
• RQ4 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ はどのような条件下で、$\mathbf{V}$-名義の資産における自己財務調整戦略によって予測可能に表現可能か？
• RQ5 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ とその極錐 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ の双対性は、安定かつ表現可能なリスクポジションをどのように特徴付けるか？

主な発見

• 各錐が $\mathcal{F}_t$-可測確率変数からなる $L^{∞}$ 内の錐の有限和の弱∗-閉包は、双対性と双対定理を用いて特徴付けられる。
• $\mathbf{V}$-ポートフォリオでの準備金の文脈において、$\mathbf{V}$-m-安定性は動的整合的リスク測度における時不変性と同値である。
• クレーム $X$ が $\mathbf{V}$ によって予測可能に表現可能であるための必要十分条件は、$\mathcal{A}_0(\mathbf{V}) = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{A}_0, \mathbf{V})}^{w^*}$ が成り立つことである。これにより、受容可能な取引による動的ヘッジが保証される。
• 双対錐 $\mathcal{A}_0(\mathbf{V})^*$ が予測可能に安定であるための必要十分条件は、$\mathcal{A}_0(\mathbf{V})$ が予測可能に表現可能であることである。これにより、表現可能性と安定性の間の双対性が確立される。
• 定理 2.24 の証明により、$\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*) \subset K_t(\mathcal{B})^*$ および $\mathcal{M}_t(\mathcal{B}^*)^* \subset K_t(\mathcal{B})$ が成り立つことが示され、受容可能な取引の集合と双対測度の集合の間の双対性が確認される。
• $\mathcal{B}$ が弱∗-閉凸錐であり、$\mathcal{B}^*$ が予測可能に安定であるとき、同値性 $\mathcal{B}^{**} = \overline{\oplus_{t=0}^{T-1} K_t(\mathcal{B})}^{w^*}$ が成り立つ。これは、動的リスク管理における完全な双対枠組みを提供する。