[論文レビュー] On representing claims for coherent risk measures

Saul Jacka, Abdelkarem Berkaoui|ArXiv.org|Aug 3, 2007

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、比例的取引コストを伴う市場における一貫性のあるリスク測度について、時間的整合性とm安定性の同値性を確立し、任意の一貫性のあるリスク測度が分離性のもとで資産ポートフォリオによって表現可能であることを示し、逆に、取引コストを伴うアービタージュフリーな市場は常に一貫性のあるリスク測度に対応することを証明する。これらの結果は、デルバエンのm安定性の概念を一般化し、摩擦のある市場におけるリスク表現とヘッジの統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider the problem of representing claims for coherent risk measures. For this purpose we introduce the concept of (weak and strong) time-consistency with respect to a portfolio of assets, generalizing the one defined by Delbaen. In a similar way we extend the notion of m-stability, by introducing weak and strong versions. We then prove that the two concepts of m-stability and time-consistency are still equivalent, thus giving necessary and sufficient conditions for a coherent risk measure to be represented by a market with proportional transaction costs. We go on to deduce that, under a separability assumption, any coherent risk measure is strongly time-consistent with respect to a suitably chosen countable portfolio, and show the converse: that any market with proportional transaction costs is equivalent to a market priced by a coherent risk measure, essentially establishing the equivalence of the two concepts.

研究の動機と目的

• 比例的取引コストを伴う市場における資産ポートフォリオに関して、デルバエンのm安定性および時間的整合性の概念を一般化すること。
• 一貫性のあるリスク測度が取引コストを伴う市場によって表現可能であるための必要十分条件を確立すること。
• 分離性のもとで、任意の一貫性のあるリスク測度が、適切に選ばれた可算個の資産ポートフォリオに関して強く時間的整合的であることを示すこと。
• 取引コストを伴うアービタージュフリーな市場が常に一貫性のあるリスク測度に対応することを示し、両者の間の双対性を確立すること。

提案手法

• 資産ポートフォリオに関する時間的整合性およびm安定性の弱い・強いバージョンを導入し、デルバエンの元来の定義を一般化する。
• 異なる基準通貨vに対するv為替リスク測度を定義し、多通貨または多財布リスク表現を可能にする。
• シュハッハマーラーとカバノフの手法に従い、一貫した価格プロセスの双対錐を用いて、多資産市場における達成可能 CLAIM を特徴付ける。
• 多期間モデルにおいて閉包およびゼロ戦略の議論を用いて、アービタージュフリーな条件下でCLAIM集合が閉じていることを証明する。
• 条件付きリスク測度および本質的下限表現を用いて、期間に跨る時間的整合性のあるリスク評価を定義する。
• 文献[11]の定理4.14および4.16を活用し、達成可能 CLAIM の錐と一貫した価格プロセスの集合との間の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 比例的取引コストを伴う市場において、一貫性のあるリスク測度が資産ポートフォリオに関して時間的整合的であるための条件は何か？
• RQ2 多資産・摩擦のある市場において、一般化されたm安定性の概念は時間的整合性とどのように関係するか？
• RQ3 任意の一貫性のあるリスク測度が取引コストを伴う市場によって表現可能であり、逆にその逆も成り立つのか？
• RQ4 分離性は、すべての受容可能なCLAIMが固定された可算個のポートフォリオによって達成可能であることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 多通貨または多財布の基準通貨を用いて、一貫性のあるリスク測度のもとでCLAIMを表現・ヘッジすることが、どの程度可能か？

主な発見

• 本稿は、デルバエンの元来の結果と同様の条件下で、弱い時間的整合性とm安定性が同値であることを証明しているが、これは資産ポートフォリオに一般化されたものである。
• 分離性の仮定のもとで、任意の一貫性のあるリスク測度は、適切に選ばれた可算個の資産ポートフォリオに関して強く時間的整合的である。
• 本稿は、取引コストを伴う任意の市場が、一貫性のあるリスク測度によって価格付けられる市場と同値であることを確立しており、両者の間の双対性を証明している。
• 取引コストを伴う多期間市場における達成可能CLAIMの集合は、ρ(Y·X) ≤ 0 を満たすCLAIM X として特徴付けられる。ここでρは一貫性のあるリスク測度、Yは基準通貨のCLAIMである。
• 一貫した価格プロセスの双対錐が、リスク測度が期待値の上界として表現される確率測度の集合に正確に対応することが示された。
• CLAIM集合𝒞ₜ^∞はσ(ℒ∞,ℒ¹)閉であるため、時間経過に跨る受容可能なポジションの表現が、強固で一貫性を持つことが保証される。