[論文レビュー] On reversible maps and symmetric periodic points

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、反転に関して不変な平面領域上の面積保存型可逆写像が、豊富な対称的周期的挙動を示すことを確立している。たとえ1つの非対称な周期的点が存在しても、無限に多くの対称的周期的点が存在することを示している。この論文は、アニュラスまたはディスク上のこのような写像が、内部の周期的点を持たないか、無限に多くの対称的周期的点を持つかのいずれかであり、固定点の像を用いた必要十分条件を提示することで、ポincare-Birkhoff定理を可逆系に一般化している。

ABSTRACT

In reversible dynamical systems, it is frequently of importance to understand symmetric features. The aim of this paper is to explore symmetric periodic points of reversible maps on planar domains invariant under a reflection. We extend Franks' theorem on a dichotomy of the number of periodic points of area preserving maps on the annulus to symmetric periodic points of area preserving reversible maps. Interestingly, even a non-symmetric periodic point guarantees infinitely many symmetric periodic points. We prove an analogous statement for symmetric odd-periodic points of area preserving reversible maps isotopic to the identity, which can be applied to dynamical systems with double symmetries. Our approach is simple, elementary and far from Franks' proof. We also show that a reversible map has a symmetric fixed point if and only if it is a twist map which generalizes a boundary twist condition on the closed annulus in the sense of Poincaré-Birkhoff. Applications to symmetric periodic orbits in reversible dynamical systems with two degrees of freedom are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 反射対称性を有する可逆力学系における対称的周期的点を理解すること。
• 面積保存型可逆写像における対称的周期的点へ、Franksの二分法を拡張すること。
• 恒等写像にホモトープな可逆写像が対称的固定点を有するための必要十分条件を確立すること。
• Poincaré-Birkhoff定理の境界ねじれ条件を、対称的固定点を有する可逆系に一般化すること。
• 2自由度の可逆系およびグローバルな断面を持つ系における対称的周期軌道への応用。

提案手法

• Franksの元々の証明で用いられる複雑な道具を避け、固定点指数およびパスリフト技術を含む初等的な位相的技法を用いる。
• 固定写像の不動点集合を囲むループに固定点指数を適用し、対称的固定点を検出する。
• 写像を普遍被覆空間 $ S = \mathbb{R} \times [0,1] $ に引き上げて回転数および境界ねじれ条件を解析する。
• 写像 $ f $ による固定点集合 $ Y_i = \mathrm{Fix}\,I_\Omega $ の像を分析し、対称的固定点の存在を決定する。
• 定理1.4に対して2通りの証明を用いる：1つは $ f \circ I_S $ の固定点を用い、もう1つは $ \mathrm{Fix}\,I_S $ を囲むループ上の指数計算を用いる。
• 最小の $ k, \ell \in \mathbb{N} $ を用いて、$ f^k(z) = z $ および $ f^\ell(z) = I_\Omega(z) $ を満たす対称的周期的点の概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アニュラスまたはディスク上の面積保存型可逆写像が、無限に多くの対称的周期的点を有するための条件は何か？
• RQ2 可逆写像に1つの非対称な周期的点が存在する場合、それが無限に多くの対称的周期的点を保証するのか？
• RQ3 恒等写像にホモトープな可逆写像が、固定点集合の連結成分上で対称的固定点を有するための必要十分条件は何か？
• RQ4 アニュラス上の可逆写像において、境界ねじれ条件は対称的固定点の存在とどのように関係するか？
• RQ5 対称的周期的点に関する結果を、二重対称性を有する系や2自由度の系へ拡張できるか？

主な発見

• アニュラス $ A $ またはその内部 $ \mathring{A} $ 上の任意の面積保存型可逆写像は、周期的点を持たないか、無限に多くの内部対称的周期的点を持つ。
• このような写像に1つの非対称周期的点が存在しても、無限に多くの対称的周期的点が存在することを示しており、これはFranksの定理を対称的力学系へ拡張する結果である。
• 恒等写像にホモトープで奇数周期の点を有する写像は、無限に多くの内部対称的奇数周期の点を有するため、対称的奇数周期軌道の存在に関する二分法が成立する。
• ディスク $ D $ またはその内部 $ \mathring{D} $ 上の可逆写像は、他の周期的点が存在しない唯一の内部対称的固定点を持つか、無限に多くの内部対称的周期的点を持つ。
• 境界ねじれ条件を満たすアニュラス上の可逆写像は、$ \mathrm{Fix}\,I_A $ の各連結成分に対称的固定点を有する。これはPoincaré-Birkhoff定理の一般化である。
• 固定点集合の成分 $ Y_i $ に対称的固定点が存在することは、$ f(Y_i) \cap Y_i \neq \emptyset $ と同値であり、これによりその存在に対する位相的基準が得られる。