[論文レビュー] On Rho invariants of fiber bundles

Michael Bohn|ArXiv.org|Jul 21, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 59被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、エータ不変量の斜め極限を用いて、ファイバー束の全空間のロウ不変量の一般式を導出する。この不変量は、3つの明確に分離された項に分解される：ファイバー統合された高次ロウ不変量、縦上同調群に平坦接続を備えた底空間のロウ不変量、およびレーラー・スペクトル系列からの位相的項。この公式により、3次元多様体、特に円縛束および双曲的モノドロミーを有する写像トーラスに対して明示的な計算が可能となり、一般化されたデデキント・エータ関数が自然に現れる。

ABSTRACT

Using adiabatic limits of Eta invariants, Rho invariants of the total space of a fiber bundle are investigated. One concern is to formulate the aspects of local index theory for families of Dirac operator in terms of the odd signature operator, and place known results in a context which permits the treatment of Rho invariants. The main focus is, however, to use this to compute Rho invariants for explicit classes of fibered 3-manifolds. More precisely, we consider $\U(1)$-Rho invariants of principal $S^1$-bundles over closed, oriented surfaces as well as mapping tori with torus fiber. Hyperbolic monodromy maps deserve particular attention. When discussing them, the logarithm of a generalized Dedekind Eta function naturally appears. An explicit formula for $\U(1)$-Rho invariants is then deduced from a transformation formula for these Dedekind Eta functions.

研究の動機と目的

• エータ不変量の斜め極限を分析することにより、ファイバー束の全空間のロウ不変量の一般式を導出すること。
• ロウ不変量を3つの物理的および位相的に意味のある成分に分解すること：ファイバー統合されたスペクトル項、縦上同調群に平坦接続を備えた底空間のロウ不変量、およびレーラー・スペクトル系列からの位相的項。
• 理論的枠組みを用いて、S¹-束および写像トーラスを含む3次元ファイバード多様体のクラスに対してU(1)-ロウ不変量を明示的に計算すること。
• 一般式をS¹-束に対して既存の手法と比較し、その体系的優位性を検証すること。
• 双曲的モノドロミーを有するトーラス束の場合に、U(1)-ロウ不変量の明示的公式を導出し、一般化されたデデキント・エータ関数と関連付けること。

提案手法

• ファイバー束に斜めメトリックを導入し、底空間の幾何が大きくなる極限を考察することで、束を積に近似する。
• ビスマールのファミリーのディラック作用素に対する局所指数理論を用い、奇数の符号作用素に再定式化することでロウ不変量を扱う。
• トランスグレッションおよび斜め極限技術を用いて、全空間のエータ不変量をファイバーおよび底空間からの寄与に結びつける。
• 縦上同調群に平坦接続を導入し、底空間レベルでのロウ不変量を定義する。
• レーラー・スペクトル系列を用いて、分解における位相的項を抽出する。
• 一般化されたデデキント・エータ関数の変換公式を活用し、双曲的写像トーラスの場合のロウ不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバー束の全空間のロウ不変量は、ファイバー、底空間、およびグローバル位相からの寄与にどのように分解可能か？
• RQ2 斜め極限は、全空間のエータ不変量をファイバーおよび底空間のそれらとどのように関連付けるか？
• RQ3 一般式は、曲面上のU(1)-束に対して既知の結果とどのように比較できるか？
• RQ4 双曲的モノドロミーを有する3次元写像トーラスのU(1)-ロウ不変量の明示的形は何か？
• RQ5 一般化されたデデキント・エータ関数は、どのようにして双曲的トーラス束のロウ不変量の計算に自然に現れるか？

主な発見

• 全空間のロウ不変量は3つの項に分解される：ファイバー統合された高次ロウ不変量、縦上同調群に平坦接続を備えた底空間のロウ不変量、およびレーラー・スペクトル系列からの位相的項。
• 曲面上のS¹-束の場合、一般式は既知の結果を再現し、直接計算との比較において体系的優位性を裏付けた。
• 有限位数のモノドロミーの場合、3次元写像トーラスのU(1)-ロウ不変量の一般式が導出された。
• トーラス束における双曲的モノドロミーの場合、U(1)-ロウ不変量は一般化されたデデキント・エータ関数の変換公式を用いて表現された。
• 滑らかな摂動におけるエータ不変量の変動が連続的微分可能であることが示され、スーパーコンネクションおよび熱核係数を含む明示的公式が得られた。
• 縮約されたξ不変量は有限ランク摂動に対して不変であり、その変動はスペクトルフローに加え、1次関数のξ不変量の微分の積分として与えられた。