[論文レビュー] On Ricci solitons of cohomogeneity one

Andrew Dancer, McKenzie Y. Wang|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称性削減から得られる常微分方程式を用いて、明示的な共型次元1のケーラー・リッチソリトンを構成する一般枠組みを開発する。この枠組みにより、ファノ・ケーラー・アインシュタイン多様体または共伴軌道の積上の円バンドルで foliated された多様体上に、拡張型、定常型、収縮型の新しい完全な例が得られ、特殊な軌道における所定の収縮条件による滑らかなコンactificationが可能となる。

ABSTRACT

We analyse some properties of the cohomogeneity one Ricci soliton equations, and use Ansatze of cohomogeneity one type to produce new explicit examples of complete Kahler Ricci solitons of expanding, steady and shrinking types. These solitons are foliated by hypersurfaces which are circle bundles over a product of Fano Kahler-Einstein manifolds or over coadjoint orbits of a compact connected semisimple Lie group.

研究の動機と目的

• 対称性削減を用いた共型次元1リッチソリトンの一般的形式を構築すること。
• 特に、ファノ・ケーラー・アインシュタイン多様体上の円バンドルを含む既存の共型次元1ケーラー・リッチソリトン構成を統一・一般化すること。
• 非自明な等長変換群を有する、拡張型、定常型、収縮型の完全なケーラー・リッチソリトンの新しい明示的例を生み出すこと。
• 特殊な軌道における滑らかなコンパクト化条件を、法バンドル内の球面の所定の収縮によって分析すること。
• 完成性および錐型の境界挙動を含む、さまざまな漸近的および境界挙動におけるソリトン方程式の整合性条件を確立すること。

提案手法

• 横断的変数に関する常微分方程式（ODE）系として共型次元1リッチソリトン方程式を定式化する。
• 一般軌道が codimension 1 である群作用に関して不変な計量を仮定し、曲率方程式をODEに削減する。
• 計量を、単一の変数に依存するファイバー半径とベース計量を持つ、円ファイバーを伴うワーペッド積としてモデル化する。
• 関数 $ u $ が径方向関数であるとして、勾配リッチソリトン方程式 $\mathrm{Ric}(g) + \mathrm{Hess}(u) + \frac{\epsilon}{2}g = 0$ を適用する。
• 特殊な軌道における滑らかさ条件を課すために、法バンドルが円周に滑らかに収縮するようにし、端点におけるODEの境界条件を導出する。
• 滑らかな延長を保証する整合性条件 $ E^* = k+1 $ および $ c_i^2 = 1/(k+1) $ を導出する。これにより、ソリトンの種別と幾何的パラメータが関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性削減を用いて、共型次元1ケーラー・リッチソリトンを構成する一般枠組みを開発できるか？
• RQ2 特殊な軌道における完全性および滑らかなコンパクト化のための必要十分条件は何か？
• RQ3 ソリトンの種別（拡張型、定常型、収縮型）に応じて、ソリトンの漸近的挙動（例：錐型または定常半径）はどのように変化するか？
• RQ4 任意のファノ・ケーラー・アインシュタイン多様体の積上の円バンドル上に、新たな明示的例を構成できるか、特にベースに等長変換が存在しない場合でも可能か？
• RQ5 ソリトン定数 $ \epsilon $、ベースの幾何、および特殊な軌道における収縮パラメータの正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿では、ファノ・ケーラー・アインシュタイン多様体の積上の円バンドルで foliated された多様体上に、拡張型、定常型、収縮型の新しい完全なケーラー・リッチソリトンの明示的例を構成した。
• $\kappa_1 < 0$ である定常ソリトンでは、無限遠で計量が完全であり、円ファイバーの半径は漸近的に定数となる。
• $\kappa_1 < 0$ である拡張型ソリトンは漸近的に錐型であり、 $\kappa_1 > 0$ である収縮型ソリトンに対しても同様に漸近的に錐型となる。
• 特殊な軌道における滑らかなコンパクト化は、収縮する球面 $ H/K $ が次元 $ k $ を持ち、 $ c_i^2 = 1/(k+1) $ および $ E^* = k+1 $ を満たす場合に達成される。
• ソリトン方程式が満たされるための整合性条件 $ E^* = \frac{\epsilon a_i + 2}{b_i} $ が保証され、 $\epsilon = 0$ の場合には $\sum a_i \Theta_{KE}^*|_{\mathfrak{p}_i}$ が閉形式でなければならない。
• 積分 (3.24) が $\kappa_1$ のある選択に対して 0 となる場合、コンパクトな収縮型ソリトンが存在し、これは他の手法で既に得られていた例を含む。