[論文レビュー] On Robin's criterion for the Riemann Hypothesis

YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol+2 more|ArXiv.org|Apr 13, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、リーマン予想（RH）が成り立つのは、すべての素数の5乗で割り切れる整数についてロビンの不等式 σ(n) < e^γ n log log n が満たされるとき、かつそのときに限り、成り立つことを確立している。初等的な解析的整数論およびロッサーとシュエンフェルトの境界を用いて、特定の条件を満たす5自由整数（任意の素数 p について p⁵ で割り切れない整数）が、ロビンの不等式を満たす整数の集合 R に属することを証明し、5040未満のロビンの不等式の例外はすべて5自由であることを示した。主な結果は、リーマン予想の代替的で洗練された基準である：リーマン予想が真であるのは、1より大きい5乗の倍数であるすべての整数についてロビンの不等式が成り立つとき、かつそのときに限り成り立つ。

ABSTRACT

Robin's criterion states that the Riemann Hypothesis (RH) is true if and only if Robin's inequality sum_{d|n}d=5041, where gamma denotes the Euler(-Mascheroni) constant. We show by elementary methods that if n&gt;=37 does not satisfy Robin's criterion it must be even and is neither squarefree nor squarefull. Using a bound of Rosser and Schoenfeld we show, moreover, that n must be divisible by a fifth power &gt;1. As a consequence we infer that RH holds true if and only if every natural number divisible by a fifth power &gt;1 satisfies Robin's inequality.

研究の動機と目的

• ロビンの不等式に基づく、リーマン予想（RH）の新たな、洗練された基準を確立すること。
• すべての5自由整数（任意の素数 p について p⁵ で割り切れない整数）が、ある条件下でロビンの不等式を満たすことの証明。
• 5040未満のロビンの不等式の例外がすべて5自由であることの示唆により、有限個の小さな整数を除いた基準を可能にすること。
• リーマン予想が、1より大きい素数の5乗の倍数であるすべての整数についてロビンの不等式が成り立つことと同値であることの証明。
• 平方因子を持たない整数および奇数の整数が、ロビンの不等式を満たす整数の集合 R に含まれることの初等的証明の提供。

提案手法

• 平方因子を持たない整数および奇数の整数について σ(n)/n を推定するために、特に補題1を用いた素数の逆数の和に関する初等的境界の使用。
• ロッサーとシュエンフェルトのチエビシェフ関数および関連するゼータ関数の推定値に関する明示的境界を応用し、σ(n)/n の成長を制御すること。
• 異なる素因数の個数 ω(n) に関する帰納法を用いて、有限集合 B = {2,3,5,6,10,30} に属さないすべての平方因子を持たない整数がロビンの不等式を満たすことを証明すること。
• 整数の因数分解のパターンとハーディ＝ラマヌジャン数の概念を用いて、反例の探索を有限計算に還元すること。
• 積 ∏(1−p⁻⁵)/(1−p⁻¹) に関する境界を用いた段階的降下の議論により、5自由な反例は P(n) ≤ 73 を満たす必要があることを示し、探索空間を制限すること。
• 5040以降の5自由な反例が存在しないことを、Mapleを用いた直接計算により確認した。その際、r ≤ 5040 に対して max ω(r) ≤ 5 であることを利用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限集合 {2,3,5,6,10,30} に属さないすべての平方因子を持たない整数について、ロビンの不等式は成り立つか？
• RQ2 リーマン予想は、1より大きい素数の5乗の倍数であるすべての整数についてロビンの不等式が成り立つことと同値に特徴付けられるか？
• RQ3 5乗の倍数でない整数であり、かつロビンの不等式の例外であるような整数は、すべて小さい（≤5040）ものに限られるか？
• RQ4 5040未満のロビンの不等式の例外は、すべて5自由整数として完全に特徴付けられるか？
• RQ5 ロビンの不等式の例外は有限で明示的な集合であり得るか？また、リーマン予想は、特定の無限族の整数について不等式を検証することで帰着可能か？

主な発見

• 補題1を用いた、素因数の個数に関する帰納法により、{2,3,5,6,10,30} に属さないすべての平方因子を持たない整数がロビンの不等式を満たすことが証明された。
• 1, 3, 5, 9 を除くすべての奇数の正の整数がロビンの不等式を満たす。
• ロビンの不等式を満たさない唯一の平方強整数（平方因子を持つ整数）は 1, 4, 8, 9, 16, 36 である。
• 積 ∏(1−p⁻⁵)/(1−p⁻¹) の境界を用いた評価と段階的降下の議論により、すべての5自由整数がロビンの不等式を満たすことが示された。
• リーマン予想が真であるのは、1より大きい素数の5乗の倍数であるすべての整数についてロビンの不等式が成り立つとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 5040未満のロビンの不等式の例外はすべて5自由であり、5040を超える5自由整数で不等式を破るものは存在しない。これにより同値性が確認された。