[論文レビュー] On rotational surfaces in pseudo-Euclidean space $\mathbb{E}^4_t$ with pointwise 1-type Gauss map

Burcu Bektaş Demirci, Elif Özkara Canfes+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、点付き1種類型のガウス写像をもつ擬リーマン4次元空間 $\mathbb{E}^4_t$ 内の回転面を分類し、特にミンコフスキー空間 $\mathbb{E}^4_1$ と符号数 (2,2) の空間 $\mathbb{E}^4_2$ における回転面に注目する。非平面的時空的二重回転面が $\mathbb{E}^4_1$ 内で平均曲率が0で、第二種の点付き1種類型ガウス写像をもつのは、輪郭曲線が $y(s) = b_0(w(s))^{\pm b}$ を満たす場合に限られ、$\mathbb{E}^4_2$ 内で平均曲率が0で第二種のガウス写像をもつような回転面を完全に特徴づけている。

ABSTRACT

In this work, we study some classes of rotational surfaces in the pseudo-Euclidean space $\mathbb{E}^4_t$ with profile curves lying in 2-dimensional planes. First, we determine all such surfaces in the Minkowski 4-space $\mathbb{E}^4_1$ with pointwise 1-type Gauss map of the first kind and second kind. Then, we obtain rotational surfaces in $\mathbb{E}^4_2$ with zero mean curvature and having pointwise 1--type Gauss map of second kind.

研究の動機と目的

• 点付き1種類型ガウス写像をもつ擬リーマン4次元空間 $\mathbb{E}^4_t$ 内の回転面を分類すること。
• $\mathbb{E}^4_1$ 内で点付き1種類型ガウス写像の第一種および第二種をもつすべての回転面を特定すること。
• $\mathbb{E}^4_2$ 内で平均曲率が0で点付き1種類型ガウス写像の第二種をもつ回転面を特定すること。
• $\mathbb{E}^4_1$ および $\mathbb{E}^4_2$ 内の非平面的時空的または空間的回転面が点付き1種類型ガウス写像をもつための条件を確立すること。

提案手法

• 2次元平面内の輪郭曲線を用いて $\mathbb{E}^4_t$ 内の回転面をパラメトライズし、二つの族 $M_1(b)$ および $M_2(b)$ を定義する。
• 正規直交フレームにおける誘導接続および第二基本形式を用いて、ガウス写像とそのラプラシアンを計算する。
• 点付き1種類型ガウス写像の条件を適用する：$\Delta\nu = f(\nu + C)$ で、$f$ は滑らかな関数、$C$ は定数ベクトルである。
• 構造方程式および曲率関係を用いて、輪郭曲線のための微分方程式を導出する。
• ラプラシアンの表現と点付き1種類型条件から得られる方程式系を解析し、解を分類する。
• 法バンドルにおける成分の消滅を用いて、第一種（$C=0$）と第二種（$C\neq0$）のガウス写像を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{E}^4_1$ 内で点付き1種類型ガウス写像の第一種をもつ回転面はどれか？
• RQ2 非平面的時空的二重回転面が $\mathbb{E}^4_1$ 内で平均曲率が0で、点付き1種類型ガウス写像の第二種をもつのはどのような条件下か？
• RQ3 $\mathbb{E}^4_2$ 内で平均曲率が0で点付き1種類型ガウス写像の第二種をもつ回転面は何か？
• RQ4 $\mathbb{E}^4_2$ 内の平均曲率が0の回転面が、点付き1種類型ガウス写像の第一種をもつことは可能か？

主な発見

• 点付き1種類型ガウス写像の第一種をもつ $\mathbb{E}^4_1$ 内の非平面的回転面はすべて分類され、そのような面が存在するのは輪郭曲線が特定の微分方程式を満たす場合に限られる。
• 平均曲率が0で、点付き1種類型ガウス写像の第二種をもつ非平面的時空的二重回転面が $\mathbb{E}^4_1$ 内に存在するのは、輪郭曲線が $y(s) = b_0(w(s))^{\pm b}$ を満たす場合に限られる。
• $b=1$ の場合、$\mathbb{E}^4_2$ 内の時空的面 $M_1(1)$ は、輪郭曲線が $(x(s)+z(s))^2 + \lambda_0(x(s)-z(s))^2 = \mu_0$ を満たす限り、点付き1種類型ガウス写像の第二種をもつ。ここで $\lambda_0 \neq 0$、$\mu_0$ は定数である。
• $b \neq 1$ の場合、$\mathbb{E}^4_2$ 内の空間的面 $M_2(b)$ は、点付き1種類型ガウス写像の第二種をもつための必要十分条件として、輪郭曲線が $z(s) = \bar{b}_0(x(s))^{\pm b}$（$\bar{b}_0 \neq 0$）の形をとることである。
• 平均曲率が0の回転面が $\mathbb{E}^4_2$ 内で点付き1種類型ガウス写像の第一種をもつことはなく、これは補題4.3によって示されている。
• $M_1(1)$ のガウス写像は $\Delta\nu = f(\nu + C)$ を満たし、$f = -8\varepsilon\kappa^2$ および $C = -\frac{1}{2}e_1\wedge e_2 - \frac{1}{2}\varepsilon\varepsilon^*e_3\wedge e_4$ であるため、第二種の条件が確認される。