[論文レビュー] On rotationally symmetric Kahler-Ricci solitons

Chi Li|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、曲率がケーラー・アインシュタインであるヘルミート線束とその射影的コンパactificationの直和の全空間上に回転対称なケーラー・リッチソリトンを構成する。カルビの方法と回転対称性による1変数微分方程式への還元を用いて、非コンパクトな完備およびコンパクトな収縮する両ケースにおける勾配ケーラー・リッチソリトンの存在と一意性を確立し、小泉、曹、 Feldman-Ilmanen-Knopf らの先行研究を一般化する。

ABSTRACT

In this note, using Calabi's method, we construct rotationally symmetric Kahler-Ricci solitons on the total space of direct sum of fixed hermitian line bundle and its projective compactification, where the curvature of hermitian line bundle is Kahler-Einstein. These examples generalize the construction of Koiso, Cao and Feldman-Ilmanen-Knopf.

研究の動機と目的

• 特別な幾何的構造を持つ複素多様体上でのケーラー・リッチソリトンの既存の構成を一般化すること。
• ヘルミート線束の直和を含む高次元で回転対称な設定における勾配ケーラー・リッチソリトンの既知の例を拡張すること。
• このようなバンドルの射影的コンパクト化上に非コンパクトな完備ソリトンとコンパクトな収縮ソリトンの両方を構成すること。
• ソリトン計量がゼロ切断付近および無限遠でどのように振る舞うかを解析し、滑らかさと完備性を保証すること。

提案手法

• ケーラー・アインシュタイン基底多様体上でのヘルミート線束の全空間上にケーラー計量を構成するためにカルビのアンサッツを適用する。
• 回転対称性を用いてケーラー・リッチソリトン方程式をODEに還元し、問題を1次元的解析に簡略化する。
• 計量のゼロ切断付近での滑らかさを保証するために、ポテンシャル関数の正則性条件を課してODEの解を解析する。
• ODEの解の漸近的挙動を導出し、非コンパクトケースにおける無限遠での計量の完備性を確立する。
• ルジャンドル変換とシンプレクティック商の技法を用いて、商空間上のケーラー・ポテンシャルとC^{m+n}上の元の平坦計量を関連付ける。
• コhom論的データと関連する関数F(b₁) = 0およびF’(b₁) = -1を満たす閉じる条件を解くことで、コンパクトな収縮ソリトンの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率がケーラー・アインシュタインである場合、ヘルミート線束とその射影的コンパクト化の直和の全空間上に回転対称なケーラー・リッチソリトンを構成できるか？
• RQ2 ODEの解がバンドルのゼロ切断付近で滑らかになるための条件は何か？
• RQ3 非コンパクトケースにおいてケーラー・リッチソリトン計量が無限遠で完備になるための条件は何か？
• RQ4 射影的コンパクト化上でのコンパクトな収縮ソリトンはどのように構成できるか。また、満たすべきコhom論的制約は何か？
• RQ5 ソリトン方程式の解は一意的か。また、Tian-Zhuの不変量とはどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、基底がケーラー・アインシュタインである場合、ヘルミート線束とその射影的コンパクト化の直和の全空間上に非コンパクトで完備な勾配ケーラー・リッチソリトンを構成する。
• ODEの解が原点で正則性条件を満たせば、ポテンシャル関数の1階微分が消えることから、ゼロ切断付近で滑らかなケーラー計量が得られる。
• ODEの解が適切な漸近的減衰を示せば、計量がコンパクト化に滑らかに拡張され、無限遠での完備性が保証される。
• コンパクトな収縮ソリトンについては、F(b₁) = 0およびF’(b₁) = -1を満たす閉じる条件を解くことで存在が証明される。ここでb₁ = (n+1)/λである。
• スケーリングを除き解は一意的であり、Tian-Zhuの不変量によりベクトル場とポテンシャル関数が比例することを示した。
• ソリトン計量のコホモロジー類は[ω] = (1/λ)c₁(X)を満たし、λ = (τ - nε)およびb₁ = (n+1)/λにより、ソリトンが位相的不変量と関連付けられる。