[論文レビュー] On S-Duality in Abelian Gauge Theory

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|May 31, 1995

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 5被引用数 116

ひとこと要約

この論文は、四次元多様体上のU(1)ゲージ理論の分配関数が、SL(2,\mathbb{Z})双対性の下で重み$(u,v) = ((\chi + \sigma)/4, (\chi - \sigma)/4)$のモジュラー形式として変換することを確立している。ここで$\chi$と$\sigma$は多様体のオイラー標数とシグネチャである。このモジュラー変換則は経路積分解析と指数定理を用いて導出され、$N=2$超対称ヤン・ミルズ理論における主要な整合性チェックを提供し、$b_2^+ \leq 1$である四次元多様体上でのドナルドソン不変量の計算に不可欠な新しい低エネルギー有効相互作用を特定する。この結果はまた、双対性とアノマリーキャンセレーションにおける第二スティーフェル・ホイットニー類の役割を明確にする。

ABSTRACT

U(1) gauge theory on ${\bf R}^4$ is known to possess an electric-magnetic duality symmetry that inverts the coupling constant and extends to an action of $SL(2,{\bf Z})$. In this paper, the duality is studied on a general four-manifold and it is shown that the partition function is not a modular-invariant function but transforms as a modular form. This result plays an essential role in determining a new low-energy interaction that arises when N=2 supersymmetric Yang-Mills theory is formulated on a four-manifold; the determination of this interaction gives a new test of the solution of the model and would enter in computations of the Donaldson invariants of four-manifolds with $b_2^+\leq 1$. Certain other aspects of abelian duality, relevant to matters such as the dependence of Donaldson invariants on the second Stieffel-Whitney class, are also analyzed.

研究の動機と目的

• 平坦空間を超えたアーベルゲージ理論における$S$-双対性を、任意の四次元多様体へ一般化して理解すること。
• 一般の四次元多様体上での$U(1)$ゲージ理論の分配関数が$SL(2,\mathbb{Z})$双対性の下でどのように変換するかを特定すること。
• モジュラー変換則を用いて、$N=2$超対称ヤン・ミルズ理論における新しい低エネルギー有効相互作用を計算すること。
• 双対性とフェルミオン零モード解析を通じて、ドナルドソン不変量が第二スティーフェル・ホイットニー類に依存する仕組みを明確にすること。

提案手法

• コンパクトな四次元多様体$X$上での自由$U(1)$ゲージ理論の分配関数を経路積分による量子化を用いて分析する。
• $\tau \to -1/\tau$および$\tau \to \tau + 1$の変換における分配関数の変化を計算し、それが重み$(u,v) = ((\chi + \sigma)/4, (\chi - \sigma)/4)$のモジュラー形式として変換することを示す。
• 指数定理を用いて、フェルミオン零モード数の差を、正則バンドルの第一チャーン類$c_1(K)$、mod 2で関連付ける。
• 変換則を$N=2$にねじ込んだ超対称理論に適用し、質量行列の符号に依存する$\theta$-角依存項を含む有効作用を導出する。
• 測度$\mu$と$\widetilde{\mu}$を比較することで、有効理論におけるフェルミオン行列式の符号を導出し、それが$(-1)^{c_1(K) \cdot c_1(T)}$に依存することを示す。これはmod 2で$w_2(X)$に簡約される。
• 得られた相互作用項が$S$-双対性と整合しており、$b_2^+ \leq 1$である多様体上でのドナルドソン不変量の計算に不可欠であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の四次元多様体上での$U(1)$ゲージ理論の分配関数は、$SL(2,\mathbb{Z})$双対性の下でどのように変換するか？
• RQ2 分配関数のモジュラー重みは、$\chi$や$\sigma$といった位相的不変量でどのように表されるか？
• RQ3 アーベルゲージ理論における$S$-双対性のアノマリーは、$N=2$超対称ヤン・ミルズ理論の有効作用とどのように関係するか？
• RQ4 第二スティーフェル・ホイットニー類は、分配関数の双対性変換においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 低エネルギー有効理論におけるフェルミオン行列式の符号は、四次元多様体の位相にどのように依存するか？

主な発見

• 四次元多様体上での$U(1)$ゲージ理論の分配関数$Z(\tau)$は、$SL(2,\mathbb{Z})$双対性の下で重み$(u,v) = ((\chi + \sigma)/4, (\chi - \sigma)/4)$のモジュラー形式として変換する。
• 変換則$Z(-1/\tau) = \tau^u \overline{\tau}^v Z(\tau)$は、分配関数がモジュラー不変ではないが、オイラー標数とシグネチャによって決定される非自明な重みで変換されることを示唆する。
• モジュラー異常は、重力結合$S$-双対理論における非最小カップリングに関連し、アノマリーをキャンセルするための項$\int_X B(\tau) \, \mathrm{tr} R \wedge \widetilde{R}$を必要とする。
• $N=2$超対称ヤン・ミルズ理論において、モジュラー変換則は、$b_2^+ \leq 1$である四次元多様体上でのドナルドソン不変量の計算に不可欠な新しい低エネルギー有効相互作用を特定する。
• 有効理論におけるフェルミオン行列式の符号は$(-1)^{c_1(K) \cdot c_1(T)}$であり、交差形式に依存し、mod 2で第二スティーフェル・ホイットニー類$w_2(X)$に簡約される。
• 解析により、$S$-双対性変換が正しくゲージ群とその双対を交換しており、$N=2$理論の解の整合性を確認する。