[論文レビュー] On S-Finite Measures and Kernels

Matthijs Vákár, C.-H. Luke Ong|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、第一順序確率的プログラミングのための基本的でありながらこれまであまり研究が進んでいなかったs-有限測度および核の理論的基盤を構築する。Radon-Nikodým定理、Lebesgue分解定理、および分解定理を確立し、それらを擬ボレル空間へと拡張することで、高階確率的プログラミングへの応用を可能にする。主な貢献は、組み込み的かつ核中心の枠組みを提供し、重要度サンプリングや拒否サンプリングといった基本的な確率的プログラミング変換の正当性を裏付けるものである。

ABSTRACT

In this note, we develop some of the basic theory of s-finite (measures and) kernels, a little-studied class of kernels which Staton has recently convincingly argued is precisely the semantic counterpart of (first-order) probabilistic programs. We discuss their Carathéodory extension and extend Staton's analysis of their product measures. We give various characterisations of such kernels and discuss their relationship to the more commonly studied classes of $σ$-finite, subprobability and probability kernels. We use these characterisations to establish suitable Radon-Nikodým, Lebesgue decomoposition and disintegration theorems for s-finite kernels. We discuss s-finite analogues of the classical randomisation lemma for probability kernels. Throughout, we give some examples to explain the connection with (first-order) probabilistic programming. Finally, we briefly explore how some of these results extend to quasi-Borel spaces, hence how they apply to higher-order probabilistic programming.

研究の動機と目的

• s-有限測度および核の厳密な測度論的基盤を確立すること。これはStaton（2017）が第一順序確率的プログラミングの意味的同等物として特定したものである。
• 文献における空白を埋めるために、s-有限核に特化した主要定理（Radon-Nikodým定理、Lebesgue分解定理、分解定理）を開発すること。
• これらの結果を擬ボレル空間へと拡張し、高階確率的プログラミングへの応用を可能にすること。
• 重要度サンプリング、拒否サンプリング、および記号的分解といった一般的な確率的プログラミング技法の意味的妥当性を、明確な数学的条件を用いて明確化すること。

提案手法

• s-有限核を有限核の可算和として特徴づけ、合成に関して閉じた非正規化測度と同等であることを確立する。
• Carathéodoryの拡張定理を用いて、標準ボレル空間上のs-有限前測度を完全な測度へと拡張する。
• 可測関数 [0,∞] への写像および可測な分割を用いて、擬ボレル空間上のs-有限測度に対するRadon-Nikodým定理およびLebesgue分解定理を証明する。
• 擬ボレル空間の函手的構造を用いて、可測選択および測度の引き戻しを用いて分解を構成する。
• s-有限核のランダム化を、1つの一様ランダム生成子と決定的再重み付け関数の合成として定義する。
• 忘却函手 Σ とモナド T 間の随伴関係を活用し、可測空間から擬ボレル空間へ結果を持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 あるs-有限核が別の核に関して絶対連続であるための必要十分条件は何か。また、その密度関数はどのように表現できるか。
• RQ2 Lebesgue分解定理はs-有限測度へ一般化可能か。その場合、互いに特異な成分はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 擬ボレル空間間のs-有限核に対して、分解定理が成り立つための条件は何か。
• RQ4 s-有限核は、1つの一様核のランダム化とその後に続く決定的変換にどのように分解できるか。
• RQ5 古典的な確率的プログラミング変換（重要度サンプリング、拒否サンプリングなど）は、s-有限測度論における既知の定理とどの程度対応するか。

主な発見

• 擬ボレル空間上のs-有限測度に対するRadon-Nikodým定理は、測度が拡張された意味で絶対連続（μ ≪∞ ν）である場合にかつその場合にのみ成立し、その密度は[0,∞] への擬ボレル準同型として与えられる。
• 擬ボレル空間上のs-有限測度に対するLebesgue分解定理は、絶対連続成分、無限成分、特異成分に一意に分解され、各成分自身がs-有限であることを保証する。
• Lebesgue分解の各成分は、Lebesgue測度を擬ボレル準同型による押し出しで得られるため、各成分はs-有限かつ可測であることが保証される。
• 標準ボレル空間上ではs-有限核の分解定理が確立されており、核の構造によって誘導される可測な分割上に各成分が台を持つ。
• ランダム化補題により、任意のs-有限核は、1つの一様ランダム生成子と決定的再重み付け関数の合成として実装可能であり、確率的プログラミングの実装が1つのランダムソースで可能であることを正当化する。
• 可測空間と擬ボレル空間間の随伴関係を用いて、結果は擬ボレル空間へと拡張可能であり、s-有限測度および核の構造が函手 Σ に関して保存される。