[論文レビュー] On Sampling without replacement and OK-Corral urn models

Markus Kuba|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、白玉および黒玉に対して任意の正の重み列を用いた、非復元抽出およびOK-Corral urnモデルの一般化を提案し、すべての黒玉が消費された際の残存白玉の分布に対して明示的な閉形式式を導出する。二つのモデルの間に双対性を確立し、特定の重み選択においてヤコビ・シータ関数およびゼータ関数関連分布を含む極限定理を同定する。これは古典的なPólya-Eggenberger urnの結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this work we discuss two urn models with general weight sequences $(A,B)$ associated to them, $A=(α_n)_{n\in\N}$ and $B=(β_m)_{m\in\N}$, generalizing two well known Pólya-Eggenberger urn models, namely the so-called sampling without replacement urn model and the OK Corral urn model. We derive simple explicit expressions for the distribution of the number of white balls, when all black have been drawn, and obtain as a byproduct the corresponding results for the Pólya-Eggenberger urn models. Moreover, we show that the sampling without replacement urn models and the OK Corral urn models with general weights are dual to each other in a certain sense. We discuss extensions to higher dimensional sampling without replacement and OK Corral urn models, respectively, where we also obtain explicit results for the probability mass functions, and also an analog of the dualitiy relation. Finally, we derive limit laws for a special choice of the weight sequences.

研究の動機と目的

• 白玉および黒玉の選択確率に任意の正の重み列を用いた、古典的な非復元抽出およびOK-Corral urnモデルの一般化。
• すべての黒玉が抽出された際の残存白玉数の確率質量関数の明示的閉形式式の導出。
• 適切な重み変換のもとで、非復元抽出モデルとOK-Corral urnモデルの間の双対関係の確立。
• 高次元 urn モデルへのフレームワークの拡張および類似の明示的結果の導出。
• 特にヤコビ・シータ関数およびブラウン運動の上昇部分との関連を有する特定の重み列に対する極限定理の調査。

提案手法

• 白玉および黒玉の現在の個数とそれらに付随する重み列 A および B に依存する遷移確率を持つ、重み付き格子パスとして urn プロセスをモデル化。
• 非復元抽出の吸収確率を計算するため、再帰的パス数え上げと積重み和を用いる。
• 組合せ的構造と母関数を活用して、P(X_{n,m} = k) の明示的公式を導出。
• 遷移確率における α_n と β_m の役割を交換する重み列の変換を通じて、二つの urn モデルの間の双対性を確立。
• モーメント生成関数および無限積恒等式を用いて極限定理を分析し、特にヤコビ・シータ関数およびゼータ関数との関連を特定。
• 指数型確率変数の分解を用いて極限定理を特徴付け、Biane や Pitman、Yor の結果と接続。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の重み列を用いた一般化された非復元抽出 urn モデルにおいて、すべての黒玉が抽出された際の残存白玉数の正確な分布は何か？
• RQ2 一般化された重みを用いた OK-Corral urn モデルは、確率的双対性の観点から非復元抽出モデルとどのように関係するか？
• RQ3 白玉および黒玉の個数がともに大きく成長する際、特に α_n = n および β_m = m² または β_m = (m−½)² のような特定の重み列に対して、正規化された残存白玉数の極限定理は何か？
• RQ4 2次元モデルに対して導出した明示的確率質量関数は、複数種の玉を含む高次元 urn モデルへと拡張可能か？
• RQ5 ヤコビ・シータ関数やリーマン・ゼータ関数といった特殊関数は、これらの一般化された urn プロセスの極限定理を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• α_n = n および β_m = m² の場合、min{n,m} → ∞ のときの X_{n,m}/n の極限定理は、累積分布関数 P(W ≤ q) = 1 − φ³(q) を満たし、ここで φ(q) はオイラー関数であり、モーメントは E(W^s) = 2πs / cosh(π√(8s−1)/2) である。
• α_n = n および β_m = (m−½)² の場合、極限定理は P(W ≤ q) = (4/π)∑_{ℓ≥1} (−1)^ℓ q^{(ℓ−½)²}/(2ℓ−1) を満たし、モーメントは E(W^s) = 1 / cosh(π√s) である。
• 非復元抽出モデルと OK-Corral urn モデルの二つは双対的である：重み列 α_n と β_m の役割を入れ替える変換のもとで、それらの確率構造は等価である。
• α_n = n および β_m = m^r (r > 1) のような重み列に対する極限定理は、リーマン・ゼータ関数およびブラウン運動の上昇部分の法則に関連する分布に収束すると予想される。
• 一般化された非復元抽出モデルにおける残存白玉数を数える確率変数 Y_m は、Y_m = exp(−∑_{ℓ=1}^m ε_ℓ / ℓ²) と分解され、ここで ε_ℓ は独立同分布の指数型確率変数である。このことは、モデルが指数型関数的構成と関連していることを示している。
• 無限大版のモデルでは W = exp(−∑_{ℓ=1}^∞ ε_ℓ / ℓ²) となり、E(W^s) = π√s / sinh(π√s) となる。これは、Biane や Pitman、Yor が得たブラウン運動の上昇部分の局所時刻に関する既知の結果と一致する。