[論文レビュー] On Sasaki-Ricci solitons and their deformations

David Petrecca|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、TianとZhuのケーラー＝リッチソリトン上の正則ベクトル場の分解定理を、ササキ設定へと拡張し、横断的正則ベクトル場の商リー代数の分割を証明する。さらに、タイプI、タイプII、および横断的複素構造の変形—G-可換変形—における一般化されたササキ＝リッチソリトンの安定性を、陰関数定理を用いて確立する。これは、Li（ケーラーの場合）およびHe–Song（ササキの場合）の先行結果を一般化し、群の仮定を緩和し、解のクラスを拡大する。

ABSTRACT

We extend to the Sasakian setting a result of Tian and Zhu about the decomposition of the Lie algebra of holomorphic vector fields on a Kähler manifold in the presence of a Kähler-Ricci soliton. Furthermore we apply known deformations of Sasakian structures to a Sasaki-Ricci soliton to obtain a stability result concerning \emph{generalized} Sasaki-Ricci solitons, generalizing Li in the Kähler setting and also He and Song by relaxing some of their assumptions.

研究の動機と目的

• ケーラー＝リッチソリトン上の正則ベクトル場のTianとZhuの分解定理を、ササキ設定へと拡張すること。
• タイプI、タイプII、および横断的複素構造変形という3つの標準的変形の下で、ササキ＝リッチソリトンの変形理論を研究すること。
• 一般化されたササキ＝リッチソリトンの安定性結果を確立し、ケーラーの場合のLiの結果を一般化するとともに、HeとSongのササキ結果における仮定を緩和すること。
• 陰関数定理を用いて、変形パrameterの滑らかな族が一般化されたササキ＝リッチソリトンをパラメータ化することを証明すること。
• 変形問題における線形化作用素の核および余核を特定し、陰関数定理の適用可能性を保証すること。

提案手法

• 横断的ケーラー構造とリーブベクトル場を用いて、ケーラー＝リッチソリトンからの分解定理をササキ＝リッチソリトンの横断的正則ベクトル場へ適応する。
• 一般化されたササキ＝リッチソリトンを、横断的ケーラー計量とハミルトニアン正則ベクトル場に関して修正された横断的リッチソリトン方程式を満たすササキ構造として定義する。
• Sasaki構造と群作用を保つD-同位的変形（タイプI）、横断的ケーラー類の変形（タイプII）、および横断的複素構造の変形—G-可換変形—を適用する。
• 写像 $ S(t, \alpha, \phi) = \Pi_g^\perp \Pi_{t,\alpha,\phi}^\perp (s_T^{t,\alpha,\phi} - s_0^{t,\alpha,\phi}) $ を構成する。ここで $ s_T $ は横断的スカラー曲率であり、$ \Pi_g^\perp $ は正則ベクトル場の直交補空間への射影である。
• 微分 $ D_{\phi}S|_{(0,0,0)} $ および $ D_{\alpha}S|_{(0,0,0)} $ を計算し、作用素 $ L = \Delta + (2n+2) - X $ を用いて線形化が全射であることを示す。ここで $ X $ は正則ベクトル場である。
• 写像 $ G = (S, \pi) $ に陰関数定理を適用する。ここで $ \pi $ は線形化の核への射影である。これにより、$ S = 0 $ の解集合 $ E $ が次元 $ \dim B + \dim z $ の滑らかな多様体であることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー＝リッチソリトン下での正則ベクトル場代数の分解は、ササキ設定へと拡張可能か？
• RQ2 標準的G-可換変形（タイプI、タイプII、および横断的複素構造の変化）は、ササキ＝リッチソリトンの存在にどのように影響するか？
• RQ3 陰関数定理がササキ＝リッチソリトンの変形に適用可能となる条件は何か？ これにより、一般化されたササキ＝リッチソリトンの存在が保証される。
• RQ4 HeとSongの結果におけるトーラス作用の制限を越えて、任意のコンパクト連結ササキ自己同型群に対して、ササキ＝リッチソリトンの安定性結果を一般化できるか？
• RQ5 このような変形の下で、一般化されたササキ＝リッチソリトンの解空間の正確な構造は何か？ その次元は？

主な発見

• 論文は、ササキ＝リッチソリトン上の横断的正則ベクトル場の商リー代数の分解を証明し、ケーラーの場合のTianとZhuの結果に類似した構造を示す。
• 線形化作用素 $ D_{\phi}S|_{(0,0,0)} $ が全射であることが確立され、陰関数定理の適用に不可欠である。
• $ D_{\phi}S|_{(0,0,0)} $ が $ -\Pi_g^\perp L $ に等しいことが示され、ここで $ L = \Delta + (2n+2) - X $ であり、この作用素が定数の直交補空間上で可逆であることが示される。
• D-同位的変形（dim z = 1）の場合、$ D_{\alpha}S|_{(0,0,0)} $ は $ \Pi_g^\perp (\eta(\beta)\theta_X) $ に簡略化され、変形空間の構造が確認される。
• 解集合 $ E = \{(t, \alpha, \phi) \in V : g_{t,\alpha,\phi} \text{ は一般化されたSRS} \} $ は、陰関数定理により次元 $ \dim B + \dim z $ の滑らかな多様体であることが示される。
• この結果は、ケーラー設定におけるLiの安定性結果を一般化し、HeとSongのササキ＝リッチソリトン安定性定理における仮定を緩和し、任意のコンパクト連結ササキ自己同型群を許容する。