[論文レビュー] On scaling limits of multitype Galton-Watson trees with possibly infinite variance

Gabriel Berzunza|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分散が無限大である可能性がある臨界的・不可約な多型ガルトン＝ワトソン木の高さ過程のスケーリング極限を確立し、連続時間の高さ過程が非一様安定なスペクトル的に正のレヴィ過程に収束することを示している。この結果は、ミエルモンの有限分散結果を、安定分布の吸引域における無限分散領域へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this work, we study asymptotics of multitype Galton-Watson trees with finitely many types. We consider critical and irreducible offspring distributions such that they belong to the domain of attraction of a stable law, where the stability indices may differ. We show that after a proper rescaling, their corresponding height process converges to the continuous-time height process associated with a strictly stable spectrally positive Lévy process. This gives an analogue of a result obtained by Miermont in the case of multitype Galton-Watson trees with finite covariance matrices of the offspring distribution. Our approach relies on a remarkable decomposition for multitype trees into monotype trees introduced by Miermont.

研究の動機と目的

• 有限分散の範囲を超えて、無限分散を伴う多型ガルトン＝ワトソン木のスケーリング極限結果を拡張すること。
• 異なるタイプごとに異なる安定指数をとる安定分布の吸引域にある場合の、高さ過程の収束を確立すること。
• 有限分散の場合にミエルモンが無条件で反射 Browmian 動作に収束することを示した結果を、無限分散設定へ一般化すること。
• 重尾な子孫分布を伴う多型構造を扱うために、多型木を単型木に分解する手法を開発すること。
• スケーリングされた高さ過程が、厳密に安定でスペクトル的に正のレヴィ過程に関連する連続時間の高さ過程の正規化されたエクストリームに分布収束することを証明すること。

提案手法

• ミエルモン（2007）の手法を拡張し、多型ガルトン＝ワトソン木を単型木に分解する。
• 各タイプに対して、安定指数 α ∈ (1,2] の安定分布の吸引域条件を適用し、タイプ間で異なる指数を許容する。
• 高さ過程のスケーリングに一致するように、正規化定数 B_n / n を用いたスケーリング・スケームを採用する。
• 子孫分布が臨界的で、不可約であり、安定分布（指数 α ∈ (1,2]）の吸引域にあることを条件とし、タイプごとに異なる指数を許容する。
• 条件付き収束の議論を用い、特定のタイプの個体数を条件づけることで、極限における主要成分を分離する。
• スコロホド空間 D([0,1], ℝ) における関数的収束を用い、スケーリングされた高さ過程が正規化されたエクストリームに収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散が無限大である臨界的・不可約な多型ガルトン＝ワトソン木の高さ過程は、適切なスケーリングのもとで連続極限に収束するか？
• RQ2 無限分散を伴う単型木における収束結果を、タイプごとに異なる安定指数をとる多型設定へ拡張できるか？
• RQ3 子孫分布が異なるタイプで異なる指数をとる安定分布の吸引域にある場合、高さ関数の極限過程は何か？
• RQ4 単型木への分解が、重尾な子孫分布を伴う多型木の解析をどのように支援するか？
• RQ5 共分散行列が無限大である場合でも、スケーリングされた高さ過程の収束が、安定な高さ過程に依然として成立するか？

主な発見

• 子孫分布が安定分布の吸引域にある臨界的・不可約な多型ガルトン＝ワトソン木のスケーリングされた高さ過程は、厳密に安定でスペクトル的に正のレヴィ過程に関連する連続時間の高さ過程の正規化されたエクストリームに分布収束する。
• 安定指数がタイプごとに異なる場合でも収束が成立し、ミエルモンの有限分散結果が無限分散領域へ一般化される。
• 極限過程は、α ∈ (1,2] の安定指数を持つ厳密に安定でスペクトル的に正のレヴィ過程によって特徴づけられ、タイプごとに異なる指数をとる可能性がある。
• 特定のタイプの個体数を条件づける条件付き測度のもとで収束が確立され、極限が非退化であることが保証される。
• 証明は、劣勢な木の成分の寄与が極限において無視可能になること、特に高確率でサイズが o(n) になることに基づく。
• 高さ過程の近似における誤差項は、[0,1] 上で一様に確率的に o(n/B_n) であることが示され、スケーリングされた過程の収束が保証される。