[論文レビュー] On Schatten-von Neumann class properties of pseudo-differential operators. The Cordes-Kato method

Gruia Arsu|ArXiv.org|Nov 3, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、導関数の $L^∞$-ノルム条件を $L^p$-ノルム条件に置き換えることで、Cordes-Kato 法を拡張し、擬微分作用素の Schatten-von Neumann 級性を確立する。すべての導関数 $D_x^\alpha D_\xi^\beta a$ が $|\alpha|,|\beta| \leq [n/2]+1$ の順序で $L^p(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$ に属するならば、関連する作用素は $1 \leq p < \infty$ に対して Schatten 級 $\mathcal{B}_p(L^2)$ に属することを証明する。この結果は、Weyl および Kohn-Nirenberg 量子化の両方に適用可能である。

ABSTRACT

We investigate the Schatten-class properties of pseudo-differential operators with the (revisted) method of Cordes and Kato. As symbol classes we use classes similar to those of Cordes in which the $L^{\infty}$% -conditions are replaced by $L^{p}$-conditions, $1\leq p

研究の動機と目的

• 導関数の $L^p$-可積分性条件の下で、擬微分作用素の Schatten-級帰属を導くために、Cordes-Kato 法を拡張すること。
• Calderón-Vaillancourt の定理を、$L^p$-ベースの正則性仮定を用いて、トレース級および Schatten-von Neumann 級性へ一般化すること。
• 記号の最小限の微分可能性および可積分性条件の下で、擬微分作用素のトレース級性を確立すること。
• 本手法が Weyl および Kohn-Nirenberg 量子化の両方へ適用可能であることを示すこと。
• シンプレクティック調和解析におけるフーリエ解析およびねじれ畳み込みを用いて、Schatten-級結果を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• Cordes-Kato 法を $L^\infty$-有界性条件から $1 \leq p < \infty$ の $L^p$-可積分性条件への置き換えによって適応する。
• シュレーディンガー表現形式における Weyl 計算法を用い、シンプレクティック空間 $\mathfrak{S}$ 上でのシンプレクティックフーリエ変換およびねじれ畳み込みを適用する。
• 測度およびそのフーリエ変換の $\ast$-代数構造を用いて、合成積および作用素量子化を定義する。
• 測度 $\mu$ に対する表現 $\mathcal{W}(\mu) = \int \mathcal{W}(\xi) \, d\mu(\xi)$ を用い、$\mathfrak{S}$ 上の測度を $L^2$ 上のユニタリ作用素に結びつける。
• 記号 $a$ の逆フーリエ変換を $\mathbb{R}^{n_1} \times \mathbb{R}^{n_2}$ で解析し、点ごとの減衰推定を得る。
• 積分推定を用い、$\langle x_1 \rangle^N \langle x_2 \rangle^N |\mathcal{F}^{-1}a(x_1,x_2)|$ および $L^1$-可積分性条件を組み合わせ、特異値の和が収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号の導関数がどの $L^p$-正則性条件を満たすときに、関連する擬微分作用素が Schatten 級 $\mathcal{B}_p(L^2)$ に属するか？
• RQ2 Cordes-Kato 法は、$L^\infty$-有界性の代わりに $L^p$-ノルム条件を用いることで、Schatten-級結果を導くように適応可能か？
• RQ3 この手法は Weyl および Kohn-Nirenberg 量子化の両方へ拡張可能か？
• RQ4 $\mathcal{F}^{-1}a$ にどの程度の減衰および可積分性条件が課わられると、作用素がトレース級または $\mathcal{B}_p$ に属するようになるか？
• RQ5 記号クラス $\mathcal{S}^{m_1,m_2}$ における $m_1, m_2$ の成長条件は、逆フーリエ変換の $L^1$-可積分性にどのように影響するか？

主な発見

• すべての $|\alpha|, |\beta| \leq [n/2] + 1$ に対して $D_x^\alpha D_\xi^\beta a \in L^p(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$ ならば、関連する擬微分作用素 $A = a(x,D)$ は $1 \leq p < \infty$ に対して Schatten 級 $\mathcal{B}_p(L^2(\mathbb{R}^n))$ に属する。
• $\mathcal{F}^{-1}a$ は、記号クラス $\mathcal{S}^{m_1,m_2}$ において $m_1 < 0$ かつ $m_2 < 0$ ならば、$\mathbb{R}^{n_1} \times \mathbb{R}^{n_2}$ 上で $L^1(\mathbb{R}^{n_1} \times \mathbb{R}^{n_2})$ に属し、トレース級帰属を保証する。
• $m_1 + n_1 > 0$ および $m_2 + n_2 > 0$ のとき、逆フーリエ変換 $\mathcal{F}^{-1}a$ は点ごとの減衰 $|\mathcal{F}^{-1}a(x_1,x_2)| \leq C_N \langle x_1 \rangle^{-N} \langle x_2 \rangle^{-N} (1 + |x_1|^{-m_1 - n_1})(1 + |x_2|^{-m_2 - n_2})$ を満たす。
• 本手法は、$\ast$-代数的構造 $\widehat{\mathcal{M}}(\mathfrak{S})$ が量子化方式に依存しないため、Weyl および Kohn-Nirenberg 量子化の両方へ適用可能である。
• 本結果は、最小限の Hölder や $L^p$-正則性仮定のもとで、Calderón-Vaillancourt の定理を Schatten-級性へ一般化する。
• 記号クラス $\mathcal{S}^{m_1,m_2}$ の下で、$m_1 < 0$ かつ $m_2 < 0$ ならば、作用素 $a(P_{\mathbb{R}^{n_1}}, P_{\mathbb{R}^{n_2}})$ は $1 \leq p \leq \infty$ に対して $L^p(\mathbb{R}^{n_1} \times \mathbb{R}^{n_2})$ 上で有界である。