[論文レビュー] On Schrödinger's equation, 3-dimensional Bessel bridges, and passage time problems

Gerardo Hernández‐del‐Valle|arXiv (Cornell University)|May 21, 2010

advanced mathematical theories参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動の一次通過時刻と3次元Besselブリッジ過程との間の関係を確立し、時間に依存するドリフトを持つ熱型方程式のコーシー問題の解を用いて、通過時刻密度の確率的表現を導出する。主な貢献は、3次元Besselブリッジ上の期待値を用いた一次通過時刻密度の公式であり、フェインマン＝カック型表現を通じて、境界値と解析的取り扱いの可能性を提供する。

ABSTRACT

In this work we relate the density of the first-passage time of a Wiener process to a moving boundary with the three dimensional Bessel bridge process and a solution of the heat equation with a moving boundary. We provide bounds.

研究の動機と目的

• 1次元ブラウン運動 $B_t$ が2回連続で微分可能な移動境界 $f(t)$ に初めて到達する時刻 $T$ の密度を導出すること。
• ギルサノフの定理と測度変更技術を用いて、一次通過時刻分布を3次元Besselブリッジ過程 $\tilde{X}_t$ に関連付けること。
• Besselブリッジの指数関数的関数の期待値を用いた、一次通過時刻密度の確率的表現を確立すること。
• Besselブリッジのモーメント推定とジェンセンの不等式を用いて、一次通過時刻密度の境界値を導出すること。
• 時間に依存する係数を持つPDEのコーシー問題を解き、フーリエ変換を用いて熱方程式と関連付けること。

提案手法

• ギルサノフの定理を用いて、元のウィener測度から、Besselブリッジ $\tilde{X}_t$ がドリフト $\left(\frac{1}{\tilde{X}_t} - \frac{\tilde{X}_t}{s-t}\right)$ を持つdiffusionとみなせる測度に変更する。
• フェインマン＝カックの公式を適用し、方程式 (7) のコーシー問題の解を、指数関数的関数 $\exp\left\{-\int_0^s f''(u)\tilde{X}_u du\right\}$ を含む期待値として表現する。
• PDE (8) の $w(t,a)$ に対して、$y = \lambda + i f'(t)$ を代入することでフーリエ解析を適用し、複素平面上の可解な常微分方程式に還元する。
• 逆フーリエ変換を用いて $w(t,a)$ の明示的解を導出し、関数 $\Pi(y)$ とガウス重み付き指数関数を含む積分として表現する。
• 解 $v(t,a)$ を $v(t,a) = w(t,a)/h(s-t,a)$ として構成する。ここで $h(s,a)$ は固定レベルへの一次通過密度である。
• 支配収束定理とBesselブリッジの最大値に関するモーメント境界を用いて、確率的表現の収束を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動境界へのブラウン運動の一次通過時刻密度は、3次元Besselブリッジを用いてどのように表現できるか？
• RQ2 ギルサノフの定理によって誘発される測度変更の下で、一次通過時刻密度の確率的表現は何か？
• RQ3 コーシー問題 (7) の解は、熱方程式とBesselブリッジ過程とどのように関連しているか？
• RQ4 ジェンセンの不等式とBesselブリッジ上の期待値を用いて、一次通過時刻密度の境界値を導出できるか？
• RQ5 変換された測度下で、Besselブリッジの遷移密度を記述するPDE (8) の明示的解は何か？

主な発見

• 一次通過時刻密度 $\omega(s, a + \int_0^s f'(u)du)$ は、$h(s,a) \exp\left\{-af'(0) - \frac{1}{2}\int_0^s (f'(u))^2 du - \int_0^s f''(u)\mathbb{E}^a[\tilde{X}_u] du\right\}$ で下から有界である。
• 上界は、指数関数的関数へのジェンセンの不等式を適用することで得られる $h(s,a) \exp\left\{-af'(0) - \frac{1}{2}\int_0^s (f'(u))^2 du\right\}$ である。
• コーシー問題 (7) の解 $v(t,a)$ は、$\mathbb{E}^{t,a}\left[\exp\left\{-\int_t^s f''(u)\tilde{X}_u du\right\}\right]$ として表現され、Besselブリッジの期待値と関連づけられる。
• 明示的解として、$w(t,a) = \exp\left\{\frac{1}{2}\int_t^s (f'(u))^2 du + a f'(t)\right\} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \Pi(y) e^{-\frac{1}{2}y^2(s-t) + i y (a + \int_t^s f'(u) du)} dy$ が導出される。
• 解 $v(t,a)$ は $v(t,a) = w(t,a)/h(s-t,a)$ として構成され、ここで $h(s,a)$ は固定レベルへの逆ガウス密度である。
• Besselブリッジの最大値に関するモーメント境界を用いて、確率的表現の収束が正当化され、切断近似における $n \to \infty$ の極限の有効性が保証される。