[論文レビュー] On SDEs driven by fractional Brownian motions with irregular drifts

Xiliang Fan, Shao‐Qin Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可測で線形成長を示すドリフトを有する分数 Browm運動で駆動される確率微分方程式（SDE）の解について、高次のモーメントおよび指数的モーメントの推定を確立する。Girsanov 変換、Clark-Ocone 共分散表現およびフーリエ解析を組み合わせることで、弱い一意性を証明し、1次元における加法的関数の密度の存在およびガウス型尾部推定を確立する。

ABSTRACT

In this paper, high-order moments, even exponential moments, estimates are established for solutions to stochastic differential equations (SDEs) driven by fractional Brownian motions whose drift is measurable and has linear growth. As applications, we study the weak uniqueness of solutions to fractional SDEs. Moreover, in dimension one, combining our estimates and the Fourier transform, we establish the existence of density of solutions to equations with irregular drifts. We further obtain Gaussian estimates for the tails of additive functional of such equation with bounded and measurable drift. It is relied on a mix of the Girsanov transform and the Clark-Ocone type covariance representation.

研究の動機と目的

• 可測で不規則なドリフトを有する分数 Browm 運動で駆動される SDE の解について、高次のモーメントおよび指数的モーメントの推定を導出すること。
• ドリフトが可測で線形成長条件を満たす場合に、その解の弱い一意性を確立すること。
• 1次元 SDE における不規則なドリフトを有する解の確率密度の存在を、フーリエ変換技法を用いて証明すること。
• 有界で可測なドリフトを有するこれらの SDE の加法的関数の尾部の性質について、ガウス型の推定を得ること。
• Girsanov 変換と Clark-Ocone 表現を組み合わせた枠組みを構築し、解のパスごとの性質を分析すること。

提案手法

• Hurst パrameter H ∈ (1/2, 1) を有する分数 Browm 運動に対するパスワイズ解析および確率積分法を用いてモーメント推定を導出する。
• Girsanov 変換を適用して測度を変更し、異なる確率測度下での解の分布を分析する。
• Clark-Ocone 公式を用いて関数の共分散を表現し、分散および尾部推定を可能にする。
• フーリエ変換法を用いて、1次元における解の密度の存在を証明する。
• モーメント推定と共分散表現を組み合わせることで、加法的関数の鋭い尾部バウンドを導出する。
• 解析における可積分性および安定性を保証するため、ドリフトの線形成長および可測性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測なドリフトを有する分数 Browm 運動で駆動される SDE について、高次のモーメントおよび指数的モーメントを推定できるか？
• RQ2 不規則なドリフトを有するこれらの SDE に対して、弱い一意性が成立する条件は何か？
• RQ3 可測なドリフトを有する1次元 SDE の解は、確率密度を有するか？
• RQ4 これらの SDE の加法的関数の尾部挙動の性質は何か？
• RQ5 Girsanov 変換と Clark-Ocone 表現をどのように組み合わせて、パスワイズ正則性およびモーメント構造を分析できるか？

主な発見

• ドリフトの線形成長および可測性の下で、解の高次のモーメントおよび指数的モーメントが推定される。
• 可測で線形成長を満たすドリフトを有する分数 Browm 運動で駆動される SDE に対して、解の弱い一意性が確立される。
• 1次元では、解が確率密度を有する。これはフーリエ変換およびモーメント推定を用いて証明される。
• 有界で可測なドリフトを有する SDE の加法的関数について、ガウス型の上界が得られる。
• Girsanov 変換と Clark-Ocone 表現の組み合わせにより、共分散構造および尾部挙動に対する精密な制御が可能になる。
• 結果は、Hurst パrameter H ∈ (1/2, 1) を有する分数 Browm 運動に対して成り立ち、長距離自己相関および自己相似性を保証する。