[論文レビュー] On secant loci and simple linear projections of some projective varieties

Euisung Park|ArXiv.org|Aug 14, 2008

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p \geq 2$ に対してグリーン＝ラザルフェルドの性質 $N_p$ を満たす射影的多様体 $X \subset \mathbb{P}^r$ が、$X$ の外部の点からの射影に関して、その線形射影の性質を調査する。$\Sigma_q(X)$ である特異点の集合（射影中心 $q$ を通るセカント直線を持つ $X$ 上の点の集合）は、空または線形部分空間内の二次曲面であり、射影された多様体 $X_q$ のコホロロジー的および局所的不変量はすべて $\Sigma_q(X)$ によって完全に決定されることを示す。主な貢献は、$X_q$ の深さとヒルベルト関数が $\Sigma_q(X)$ の次元に正確に結びつく公式を提示することであり、ヴェロネーゼおよびセグレ埋め込み、低次元多様体への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we study how simple linear projections of some projective varieties behave when the projection center runs through the ambient space. More precisely, let $X \subset ¶^r$ be a projective variety satisfying Green-Lazarsfeld's property $N_p$ for some $p \geq 2$, $q \in ¶^r$ a closed point outside of $X$, and $X_q := π_q (X) \subset ¶^{r-1}$ the projected image of $X$ from $q$. First, it is shown that the secant locus $Σ_q (X)$ of $X$ with respect to $q$, i.e. the set of all points on $X$ spanning secant lines passing through $q$, is either empty or a quadric in a subspace of $¶^r$. This implies that the finite morphism $π_q : X o X_q$ is birational. Our main result is that cohomological and local properties of $X_q$ are precisely determined by $Σ_q (X)$. To complete this result, the next step should be to classify all possible secant loci and to decompose the ambient space via the classification of secant loci. We obtain such a decomposition for Veronese embeddings and Segre embeddings. Also as an application of the main result, we study cohomological properties of low degree varieties.

研究の動機と目的

• 射影的多様体 $X \subset \mathbb{P}^r$ の外部の点 $q$ の位置が、その線形射影 $X_q \subset \mathbb{P}^{r-1}$ のコホロロジー的および局所的性質に与える影響を理解すること。
• セカント集合 $\Sigma_q(X)$（$q$ を通るセカント直線を持つ $X$ 上の点の集合）を分類し、それを用いて $X_q$ の幾何的および代数的不変量を特定すること。
• 性質 $N_p$（$p \geq 2$）を満たす多様体へ、同型射影およびカステルヌオヴォ＝マウムフォード正則性に関する結果を拡張すること。
• 特にヴェロネーゼおよびセグレ埋め込みに対して、$\Sigma_q(X)$ の次元に基づいて、環境空間 $\mathbb{P}^r$ をセカント層 $SL_s(X)$ に分解すること。

提案手法

• 射影中心 $q$ を通るセカント直線を持つ点の集合として、セカント集合 $\Sigma_q(X)$ を定義する。
• $\Sigma_q(X)$ が $\mathbb{P}^r$ の線形部分空間内での二次曲面であるか、空であることを示し、射影 $\pi_q: X \to X_q$ が双有理的であることを示す。
• 重要な公式を確立する：$h^0(\mathcal{I}_{X_q}(2)) = h^0(\mathcal{I}_X(2)) + s - r$ および $\operatorname{depth}(X_q) = \min\{\operatorname{depth}(X), s+2\}$、ここで $s = \dim \Sigma_q(X)$。
• コホロロジー的消失仮定（例：$1 \leq i \leq n-1$、$j \leq -i$ に対して $H^i(X, \mathcal{O}_X(j)) = 0$）を用いて、深さおよび正則性に関する結果を導出する。
• 主定理を適用して、ヴェロネーゼおよびセグレ埋め込みのセカント層の分類 $SL_s(X)$ を行い、$\mathbb{P}^r$ を $s$ でインデックスされた層に分解する。
• 一般の線形曲線切断によるグレーデッド・ベッティ図の保存性を用いて、$X_q$ の最小自由分解を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セカント集合 $\Sigma_q(X)$ の次元が、射影された多様体 $X_q$ のコホロロジー的不変量にどのように影響するか？
• RQ2 射影 $\pi_q: X \to X_q$ がいつ双有理的になるか、そして $\Sigma_q(X)$ の構造がその性質をどのように制御するか？
• RQ3 カステルヌオヴォ＝マウムフォード正則性 $\operatorname{Reg}(X_q)$ と $\operatorname{Reg}(X)$ の正確な関係は何か？
• RQ4 環境空間 $\mathbb{P}^r$ は、$\Sigma_q(X)$ の次元に基づいてどのように層に分解できるか？各層の幾何的性質は何か？
• RQ5 局所的性質（例：正規性、$S_2$、コーエン＝マカウレー）が、$X_q$ の $\Sigma_q(X)$ 上の点において、$X$ のそれらをどの程度反映するか？

主な発見

• セカント集合 $\Sigma_q(X)$ は、空または $\mathbb{P}^r$ の線形部分空間内の二次曲面であり、これにより射影 $\pi_q: X \to X_q$ が双有理的であることが示される。
• $X_q$ のイデアルに含まれる二次式の数は、$h^0(\mathcal{I}_{X_q}(2)) = h^0(\mathcal{I}_X(2)) + s - r$ で与えられ、ここで $s = \dim \Sigma_q(X)$ である。
• $X_q$ の深さは $\operatorname{depth}(X_q) = \min\{\operatorname{depth}(X), s+2\}$ を満たし、$X_q$ が算術的にコーエン＝マカウレーであるための必要十分条件は $s = \dim X - 1$ である。
• $X_q$ のカステルヌオヴォ＝マウムフォード正則性は $\max\{3, \operatorname{Reg}(X)\}$ であり、$X$ が性質 $N_2$ を満たすならば $X_q$ は $3$-正則である。
• 次数 $d \geq 5$ のデル・ペッツォ多様体について、$X_k \subset \mathbb{P}^{k+3}$ のセカント層の分解は $\mathbb{P}^{k+3} = SL_{k-2}(X_k) \cup SL_k(X_k)$ であり、$SL_{k-2}(X_k) = \mathbb{P}^{k+3} \setminus X_k$ かつ $SL_k(X_k) = X_k$ である。
• $\mathbb{P}^{k+2}$ 内の $\pi_q(X_k)$ のイデアルの最小自由分解は $0 \to R(-5) \to R(-4)^5 \to R(-3)^5 \to I \to 0$ であり、ベッティ数は曲線切断によって保存される。