[論文レビュー] On self-dual and LCD double circulant and double negacirculant codes over $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$

Minjia Shi, Hongwei Zhu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$u^2 = u$ を満たす環 $\mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上の自己双対およびLCDの二重巡回および二重反巡回符号を研究し、正確な数え上げ公式を確立するとともに、双対性を保つグレイ写像を用いて、固定されたレートと正の定数で下から有界な相対距離をもつ、任意に長い符号の存在を示した。主な貢献は、最適または近似的に最適なパラメータをもつ有限体上の良い自己双対およびLCD符号族の構成にある。

ABSTRACT

Double circulant codes of length $2n$ over the semilocal ring $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q,\, u^2=u,$ are studied when $q$ is an odd prime power, and $-1$ is a square in $\mathbb{F}_q.$ Double negacirculant codes of length $2n$ are studied over $R$ when $n$ is even and $q$ is an odd prime power. Exact enumeration of self-dual and LCD such codes for given length $2n$ is given. Employing a duality-preserving Gray map, self-dual and LCD codes of length $4n$ over $\mathbb{F}_q$ are constructed. Using random coding and the Artin conjecture, the relative distance of these codes is bounded below. The parameters of examples of the modest length are computed. Several such codes are optimal.

研究の動機と目的

• 二重巡回および二重反巡回符号の理論を有限体から $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ に拡張し、より豊かな符号構成を可能にする。
• $q$ および $n$ に関する条件の下で、与えられた長さ $2n$ における自己双対およびLCD符号の正確な数を特定する。
• 環 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上の符号から、双対性を保つグレイ写像を用いて、$\mathbb{F}_q$ 上の長さ $4n$ の自己双対およびLCD符号を構成する。
• ランダム符号化とアーティン予想を用いて、グレイ写像の符号の相対ハミング距離に対する漸近的下界を確立する。
• 明示的な例を計算し、$\mathbb{F}_5$ 上で、いくつかの構成された符号がそのパラメータに対して既知の最良最小距離に達していることを示す。

提案手法

• 中国剰余定理（CRT）を用いて、環 $R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ を体の積に分解し、符号の成分による解析を可能にする。
• $q$ が2のべき乗、または $q \equiv 1 \pmod{4}$、あるいは $q = p^{2b}$ かつ $p \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$-1$ が $R$ 内に平方根をもつことを利用して、二重巡回符号を定義する。
• $n$ が偶数で $q$ が奇素数べきのとき、$x^n + 1$ の因数分解をディクソン多項式を用いて定義し、$R$ 上の二重反巡回符号を構成する。
• 双対性を保つグレイ写像 $\phi$ を適用：$R$ 上の自己双対符号は $\mathbb{F}_q$ 上の自己双対符号に、$R$ 上のLCD符号は $\mathbb{F}_q$ 上のLCD符号に写像される。
• ランダム符号化の議論とアーティン予想（GRHに条件付き）を用いて、グレイ写像符号の相対距離を下から有界化する。
• 生成行列の構造とCRT分解を活用し、自己双対またはLCD条件を満たす有効な符号の数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q$ および $n$ に対して、$R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q$ 上の自己双対およびLCDの二重巡回符号が存在する条件は何か？
• RQ2 $R$ 上の長さ $2n$ の自己双対およびLCDの二重巡回および二重反巡回符号の正確な数は何か？
• RQ3 $R$ から $\mathbb{F}_q^2$ へのグレイ写像を用いて、$\mathbb{F}_q$ 上の自己双対およびLCD符号を、良い漸近的パラメータで構成できるか？
• RQ4 $n \to \infty$ のとき、これらの符号のグレイ写像の相対ハミング距離に対する漸近的下界は何か？
• RQ5 構成された符号が、$\mathbb{F}_q$ 上の長さと次元に対して、既知の最良最小距離に達しているか、あるいはそれに近いか？

主な発見

• $q$ が奇数で $\mathbb{F}_q$ 内で $-1$ が平方数であるとき、長さ $2n$ の $R$ 上の自己双対二重巡回符号の数は、$n$ が偶数のとき正確に $q^{n/2}$ である。
• 同じ条件下で、長さ $2n$ の $R$ 上のLCD二重巡回符号の数は正確に $q^{3n/2}$ である。
• 二重反巡回符号に関しては、$n$ が2のべきのとき、自己双対符号の数は $q^{n/2}$、LCD符号の数は $q^{3n/2}$ である。
• $R$ 上の自己双対二重反巡回符号のグレイ写像は、分解Iでは $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$、分解IIでは $H_q(\delta) \geq \frac{1}{16}$ を満たす相対距離 $\delta$ をもつ。
• LCD二重反巡回符号のグレイ写像は、分解Iでは $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$、分解IIでは $H_q(\delta) \geq \frac{1}{16}$ を満たす。これにより、これらの符号族が良い符号族であることが証明された。
• $\mathbb{F}_5 + u\mathbb{F}_5$ 上の明示的例では、表1および表2のアsterisk（$*$）で示されるように、いくつかの構成された符号がそのパラメータに対して既知の最良最小距離に達している。