[論文レビュー] On self-intersection local times for generalized Brownian bridges and the distance between step functions

A. A. Dorogovtsev, Olga Izyumtseva|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非自明な核をもつ線形作用素によって生成される平面ガウス型積分因子のk重自己交差局所時刻（SILT）を調査し、ウィーナー過程に限らず、正則化技術を拡張する。k=2の場合、核に起因する新たな特異性が生じるが、フーリエ＝ウィーナー変換とL²正則化の収束を確立し、グラム行列式の幾何的解析と射影に基づく正則化により可積分性を示す。k>2の主要な結果は、区間や超平面を含む複雑な特異性構造のため、従来の手法では不十分であり、代替手法が不可欠である。

ABSTRACT

In the paper $k$-multiple self-intersection local time for planar Gaussian integrators generated by linear operator with nontrivial kernel is studied. In this case additional singularities arise in its formal Fourier--Wiener transform. In case $k=2$ the set of singularities is the finite number of points. In case $k>2$ it contains intervals and hyperplanes. In the first and the second cases using two different approaches related on structure of set of singularities we show that "new" singularities do not imply on the convergence of integral corresponding to the formal Fourier--Wiener transform and regularization consist of compensation of impact of diagonals as for the Wiener process.

研究の動機と目的

• 非自明な核をもつ線形作用素によって生成される平面ガウス型積分因子のk重自己交差局所時刻（SILT）を分析すること。これは、作用素の核に起因する、形式的フーリエ＝ウィーナー変換における新たな特異性を引き起こす。
• ウィーナー過程や核が自明な作用素に対して有効であった正則化手法を、有限次元核をもつ作用素Aの状況に拡張すること。これにより、対角線を越えた追加の特異性が生じる。
• k=2の場合に、SILTのフーリエ＝ウィーナー変換とL²正則化の存在を、特異性構造の解析と発散積分の可積分性の証明により確立すること。
• k>2における既存の正則化手法の限界を特定すること。特異性が区間や超平面を含むため、現在の枠組みを超える新たな手法の必要性が生じる。

提案手法

• ガウス白色ノイズの平方可積分関数型を表現するためのフーリエ＝ウィーナー変換を用い、特性関数型を介してSILTの解析を可能にする。
• SILTの形式的フーリエ＝ウィーナー変換を解析し、作用素Aの増分A1_I_[0;t]から構成されるグラム行列式の逆行列を含む発散積分として表現する。特異性は作用素Aの核に起因する。
• 射影に基づく正則化法を適用する：k=2の場合、増分の直交化と部分空間への符号付き射影の組み込みにより発散を相殺する。
• 特異点近傍におけるグラム行列式の振る舞いに関する幾何的推定と、ヒートカーネル型積分（例：∫ p_r(u) dr ≤ c ln δ）のバウンドを用いて、可積分性を証明する。
• k>2の場合、領域Δ_k^δを時間順序に基づく部分集合に分割し、遷移密度の積に対する推定を適用して発散を制御する。
• グラム行列式のバウンドに基づく一様可積分性から、ドミネーテッド収束定理を用いて、ε→0における近似列T_ε,k,δのL²極限の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成作用素Aに非自明な核がある場合、k重SILTの形式的フーリエ＝ウィーナー変換における特異性構造にどのような影響を与えるか？
• RQ2 ローゼン型正則化法は、非自明な核をもつガウス型積分因子に拡張可能か、特にk=2の場合に有効か？
• RQ3 ker Aが有限次元であるとき、k>2における形式的フーリエ＝ウィーナー変換の特異性集合の性質は何か？
• RQ4 なぜ射影に基づく正則化法はk>2では失敗するのか？ どのような代替手法が必要か？
• RQ5 k≥2の場合に、近似列T_ε,k,δのL²極限がε→0で存在するための条件は何か？

主な発見

• k=2の場合、SILTの形式的フーリエ＝ウィーナー変換における特異性集合は有限個かつ孤立しており、符号付き射影和による正則化により積分の収束が保証される。
• k=2において、増分の直交化と部分集合M⊂{1,…,k−1}への射影項の組み込みに基づく正則化法は、発散を相殺し、収束する積分をもたらす。
• k>2の場合、特異性集合には区間や超平面が含まれるため、同じ正則化法は特異性集合の複雑さのため適用不可能となる。
• k=2の場合、ヒートカーネル型積分の推定とf_0(‖u−v‖)のバウンド（任意のp>0に対してL^p可積分）を用いて、Δ_k^δ上でのフーリエ＝ウィーナー変換の積分が可積分であることを示した。
• ε→0における近似列T_ε,k,δのL²極限は、ドミネーテッド収束定理と分母におけるグラム行列式の一様バウンドに基づき、存在が証明された。
• k重SILTのフーリエ＝ウィーナー変換の存在は、対角線を除く領域で、ker Aが有限次元でかつAがL2([0,1])上で連続であるという条件下で確立された。