[論文レビュー] On semidefinite representations of plane quartics

Didier Henrion|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平面の四次曲線の凸包が正確に半定値表現可能であるための条件を確立し、そのような集合が最大で12個のリフティング変数を用いて半定値表現可能であることを示している。また、四次曲線が有理関数でパラメータ化可能である場合、2つのリフティング変数での正確な表現が可能である。これらの結果は、平方和表現とラッセルレのモーメント-SOS階層に依拠しており、明示的な構成と数値例が提示されている。

ABSTRACT

This note focuses on the problem of representing convex sets as projections of the cone of positive semidefinite matrices, in the particular case of sets generated by bivariate polynomials of degree four. Conditions are given for the convex hull of a plane quartic to be exactly semidefinite representable with at most 12 lifting variables. If the quartic is rationally parametrizable, an exact semidefinite representation with 2 lifting variables can be obtained. Various numerical examples illustrate the techniques and suggest further research directions.

研究の動機と目的

• 2変数の四次多項式の凸包が正確に半定値表現可能である条件を特定すること。
• そのような表現に必要な最小のリフティング変数の数を同定すること。
• 低ランク構成を用いて、有理関数でパラメータ化可能な四次曲線への正確な半定値表現を拡張すること。
• 平面の四次曲線の凸包に対するラッセルレの1階半定値緩和の正確性を調査すること。
• 代数的平面曲線の凸包の半定値表現を構築するための計算ツールと例を提供すること。

提案手法

• 線形行列不等式（LMIs）を用いた外挙近似として凸包を構成するため、ラッセルレのモーメント-SOS階層を活用する。
• 非負の2変数四次多項式が平方和（SOS）であるという事実を用い、正確な半定値表現を可能にする。
• リフティングに基づく射影法を適用し、凸包をスペクトラヒドロンの射影として表現する。
• パラメータ化に基づくアプローチを用いて、有理関数でパラメータ化可能な曲線に対してリフティング変数を2つにまで削減する。
• 多項式およびその単項式から導かれるモーメント行列と局所化行列を用いて、明示的なLMIs表現を構築する。
• 数値例を通じて結果を検証し、水の滴型四次曲線を含む例を提示し、正確な表現の可能性と限界を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面の四次曲線の凸包が、有限個のリフティング変数を用いて正確に半定値表現可能となる条件は何か？
• RQ2 有理関数でパラメータ化可能な四次曲線は、半定値形式において2つのリフティング変数でのみ表現可能か？
• RQ3 平面の四次曲線の凸包に対するラッセルレの階層の1階緩和の正確性は、何によって決まるか？
• RQ4 特異点や勾配が0になる点は、正確な半定値表現の存在にどのように影響するか？
• RQ5 与えられた四次曲線の凸包に対して必要な最小のリフティング変数の数は何か？

主な発見

• 内部が空でない任意の平面四次曲線の凸包は、最大で12個のリフティング変数を用いて正確に半定値表現可能である。
• 四次曲線が有理関数でパラメータ化可能である場合、その凸包は2つのリフティング変数でのみ正確な半定値表現が可能である。
• 2変数四次多項式のSOS性質のおかげで、ラッセルレの階層における1階緩和は平面四次曲線に対して正確である。
• 1階を超える高階緩和の正確性については、未解決の問題のまま残っている。
• 数値例から、同じ四次曲線に対する異なる半定値表現が、異なる数のリフティング変数を要することが示された。
• 本稿では、現在の理論におけるギャップを特定している：水の滴型四次曲線の凸包に対する正確な半定値表現は、まだ知られていない。