[論文レビュー] On semifast Fourier transform algorithms

Sergei V. Fedorenko|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特に GF(2^m) 上で、乗算を減らしつつ加算の複雑さを維持するように設計された、部分的高速フーリエ変換（SFT）アルゴリズムを提示および比較する。ゴーツェル、ブラフート、フェドレンコのアルゴリズムを分析し、SFTが巡回的コセットと正規基底を用いて O(n log n) の乗算を達成することを示す。加算の複雑さは O(n²) が支配的であり、n = 2^m - 1 の長さの変換に対しては、効率的な計算が可能である。

ABSTRACT

We consider the relations between well-known Fourier transform algorithms.

研究の動機と目的

• 有限体、特に GF(2^m) 上での部分的高速フーリエ変換（SFT）アルゴリズムを分析・比較し、計算複雑さを低減すること。
• SFTアルゴリズムが乗算を最小限に抑えつつ O(n²) の加算を維持する方法を調査し、有限体算術において近似FFT効率を達成すること。
• 巡回的コセットと正規基底を用いたSFTアルゴリズムの構造化の仕方を示すこと。
• 特に GF(2^m) における乗算と加算のトレードオフに注目し、SFTアルゴリズムの計算複雑さを評価すること。

提案手法

• 本稿では、GF(2) 上で n を法とする巡回的コセットを用い、フーリエ変換をより小さな管理可能な部品に分解する。特に n = 2^m - 1 の場合に焦点を当てる。
• ゴーツェルの手法を適用し、入力多項式を最小多項式で割ることで、問題を GF(2^m) 内の1の根における剰余の評価に還元する。
• ブラフートのアルゴリズムを変形し、部分空間上の重み付き変換の和としてフーリエ変換を表現する。変換構造を表すために二進巡回行列を用いる。
• フェドレンコのアルゴリズムは、正規基底表現を用いて変換を再構成し、ブロック巡回行列を可能にすることで、行列-ベクトル乗算を簡素化する。
• 変換は2段階に分解される：(1) 多項式除法を用いた l 個の m ポイント循環畳み込みの計算、(2) 結果に二進行列 A_e を適用する。D_e は基底巡回行列のブロック対角行列である。
• アルゴリズムの構造は F_e = A_e D_e f_e として形式化され、A_e は巡回行列の二進行列、D_e は基底巡回行列のブロック対角行列である。これにより、モジュラ算術の効率的実装が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SFTアルゴリズムは、GF(2^m) で乗算の数を減らしつつ、加算の複雑さを管理可能に保つにはどのようにすればよいか？
• RQ2 巡回的コセットと正規基底は、GF(2^m) 上で効率的なSFTを構造化するために果たす役割は何か？
• RQ3 n = 2^m - 1 の場合に、ゴーツェル、ブラフート、フェドレンコのアルゴリズムの計算複雑さ（乗算と加算の観点）を比較するとどうなるか？
• RQ4 変換行列 A_e に巡回行列およびブロック巡回行列を用いることで、有限体FFT実装における実用的最適化が達成できるか？

主な発見

• n = 2^m - 1 の場合、GF(2^m) 上のSFTは約 n log n の乗算と O(n²) の加算を要し、直接計算に比べて乗算コストが顕著に低減される。
• ゴーツェルのアルゴリズムは、最小多項式による剰余の評価に問題を還元し、その後1の根における評価を実行することで、二進巡回行列を有する構造化された行列表現を達成する。
• ブラフートのアルゴリズムは、部分空間上の重み付き変換の和として変換を表現し、行列 A_e が二進巡回行列とブロック巡回行列から構成されることで、効率的な実装が可能になる。
• フェドレンコのアルゴリズムは、正規基底を用いて変換を再構成し、行列 A_e が二進巡回行列とブロック巡回行列から構成されることで、計算のモularity（モジュール性）が向上する。
• 第1段階（循環畳み込み）の複雑さは GF(2^m) 上で O(n log n) の乗算と加算を要するが、第2段階は 2n²/log n 未満の加算を要し、これが主なコストを占める。
• 本稿は、巡回的コセットと正規基底を用いた代数的分解により、乗算を最小限に抑え、有限体において近似FFT効率を達成できると確立している。