[論文レビュー] On semilattices and lattices for families of theories

S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一階論理の$E$-閉族に対して半格および格を導入し、$P$-結合および$E$-結合によって構成される構造に注目して研究する。最小生成集合を備えた理論族の格が分配的であることを確立し、孤立型および$E$-閉包作用素を用いた構造的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We define and study semilattices and lattices for $E$-closed families of theories. Properties of these semilattices and lattices are investigated. It is shown that lattices for families of theories with least generating sets are distributive.

研究の動機と目的

• 一階論理の$E$-閉族に対して半格および格を定義し、分析すること。
• 特に最小生成集合を備える条件の下で、これらの格の構造的性質を調査すること。
• 最小生成集合の存在とそれによって得られる格の分配的性質との間の関係を確立すること。
• $E$-表現可能性および$E$-結合の$e$-完備化の概念を形式化すること。
• $E$-閉族の最小生成集合を用いて、そのブール代数構造を特徴づけること。

提案手法

• $P$-作用素および$E$-作用素を導入し、構造およびその理論の$P$-結合と$E$-結合を構成する。
• $E$-閉族の理論を定義し、そのような族内での最小生成集合の概念を導入する。
• $E$-閉包作用素を用いて、$E$-閉族上での格演算$\wedge^\prime$および$\cup$を定義する。
• 孤立型の概念を用いて、最小生成集合を特徴づけ、格構成におけるその役割を明らかにする。
• 最小生成集合の部分集合のブール代数と、格内での定義可能部分集合のブール代数との間の同型を確立する。
• 格における分配的恒等式の検証に、孤立型の包含関係および$E$-同値性に関する閉包性を基にした証明技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で$E$-閉族の理論の格が分配的になるか？
• RQ2 最小生成集合は理論族の格の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $E$-表現可能性は理論の$E$-結合を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 $e$-スペクトルは$E$-結合の$e$-完備化とどのように関係するか？
• RQ5 定義可能部分集合のブール代数と$E$-閉族の格との間の関係は何か？

主な発見

• $E$-閉族および最小生成集合を備える格$\mathrm{LLGS}(X)$は、$\wedge^\prime$および$\cup$演算に関して分配的恒等式を満たすことが証明されたため、分配的である。
• 任意の最小生成集合$\mathcal{T}^\prime$を備える$E$-閉族$\mathcal{T}$に対して、ブール代数$\mathcal{B}(\mathcal{T})$は包含関係に関して、部分集合のベキ集合代数$\mathcal{B}(\mathcal{T}^\prime)$と同型である。
• 理論族$\mathcal{T}$の最小生成集合$\mathcal{T}^\prime$は、正確に$\mathcal{T}$内の孤立型から成り立ち、この集合が格の全体的な構造を決定づける。
• $\wedge^\prime$演算は$E$-閉族の共通部分集合に対応し、$\cup$演算は族の和集合に対応するが、両方とも$E$-閉包に関して閉じている。
• $E$-結合$\mathcal{A}_E$は、すべての初等同値な構造$\mathcal{A}^\prime \equiv \mathcal{A}_E$が$E$-表現可能である場合に$e$-完備であると定義され、これは$e$-スペクトルが飽和しているときにかつそのときに限り成立する。
• $\mathcal{A}_E$の$e$-スペクトルは、$\mathcal{A}_i$と初等同値でない$E$-類への制限の、すべての対ごとの初等非同値な理論の集合であり、その上限は理論に応じて有限または可算である。